Bedeutung von Real- und Imaginärteil der Fourier-Transformation eines Signals

Sagen wir, ist ein Signal der Zeit , die Fouriertransformation der Variablen . $f$ $t$ $F$ $v$

Es ist bekannt, dass in Polarkoordinatengibt an, wie stark die Frequenz über dem Signal vorhanden ist, und , wie stark der Beitrag dieser Frequenz phasenverschoben ist. $|F(v)|$ $v$ $Arg(F(v))$

Welche Informationen geben ihr Real- und Imaginärteil an?

Oder wenn ich meine Frage umformuliere: Können wir eine Interpretation der Fourier-Transformation in kartesischen Koordinaten geben, wie wir es in Polarkoordinaten tun können?

fourier-transform

— user2682877
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Antworten:

Der Realteil und der Imaginärteil der Fouriertransformation eines Signals sind die Fouriertransformationen der geraden bzw. ungeraden Teile des Signals: $x(t)$

X_{R} (ω) = \frac{1}{2} [X (ω) + X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2} [x (t) + x^{*} (- t)] = x_{e} (t) X_{ich} (ω) = \frac{1}{2 j} [X (ω) - X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2 j} [x (t) - x^{*} (- t)] = - j \cdot x_{Ö} (t)

$X_R(\omega)=\frac12[X(\omega)+X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac12[x(t)+x^*(-t)]=x_e(t)\\ X_I(\omega)=\frac{1}{2j}[X(\omega)-X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac{1}{2j}[x(t)-x^*(-t)]=-j\cdot x_o(t)$

wobei und der Realteil und der Imaginärteil von sind und und der gerade bzw. der ungerade Teil von sind. $X_R(\omega)$ $X_I(\omega)$ $X(\omega)$ $x_e(t)$ $x_o(t)$ $x(t)$

— Matt L.
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Tut mir leid, dass ich so dicht bin, aber ich verstehe es immer noch nicht. Was meinen Sie mit "geraden und ungeraden Teilen" eines Signals? (Ich bin mir auch nicht sicher, was der Doppelpfeil in Ihrer Notation bedeutet.)

— natevw

Update: Vielleicht hat dies etwas mit geraden und ungeraden Funktionen zu tun, wie hier beschrieben: cs.unm.edu/~williams/cs530/symmetry.pdf ?

— Natevw

@natevw: Der Doppelpfeil bedeutet, dass die Funktionen links und rechts ein Fourier-Transformationspaar bilden. Jedes Signal kann in seinen geraden und ungeraden Teilen zerlegt werden:

, wobei

eine gerade Funktion ist , und

ist eine ungeradee Funktion .

x (t) = x_{e} (t) + x_{o} (t)

$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$

x_{e} (t)

$x_e(t)$

x_{o} (t)

$x_o(t)$

— Matt L.

Danke, das verdeutlicht deine Antwort in Kombination mit den Einführungsfolien der "Symmetrie" -Präsentation, die ich oben verlinkt habe!

— natevw

Und was ist j im imaginären / ungeraden Teil?

— sssheridan

Wenn es gleiche Frequenzen gibt, eine jedoch negativ ist, heben sie sich auf und es entsteht ein imaginäres Signal von Null.

— Gamaliel
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-1

Die Fourier-Transformation eines Systems ist seine Übertragungsfunktion und gibt den Multiplikationsfaktor an, wenn die Eingabe ist. ist die Frequenz. Wenn Sie den Eingang als Strom, die Übertragungsfunktion oder die Fourier-Transformation als Impedanz betrachten, ist der Ausgang potentiell. Wenn die Fouriertransformation eine Impedanz ist, ist der Realteil der FT ein resistiver Teil der Impedanz und der Imaginärteil der reaktive Teil der Impedanz. $e^{j\omega t}$ $\omega$

— Seetha Rama Raju Sanapala
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Während Ihr Standpunkt zum ohmschen Teil / reaktiven Teil in linearen Systemen wirklich interessant sein mag, ist Ihre Antwort in der gegenwärtigen Form chaotisch und kaum verständlich. Ich stimme ab

— Antoine Bassoul