Eingeschränkte Isometrieeigenschaft (RIP) in Compressive Sensing

Welche Bedeutung hat die RIP-Bedingung (Restricted Isometry Property) bei der Drucksensorik für die Analyse sparsamer Signale? Wie können wir die Restricted Isometry Constant (RIC) für die RIP-Bedingung definieren?

Danke im Voraus!

compressive-sensing

— Tuner
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Weitere Informationen zu Eigenschaften, Verallgemeinerung und Nützlichkeit des RIP in Compressed Sensing finden Sie im aktuellen Artikel ... arxiv.org/abs/1410.1956

— Oliver

Die Eigenschaft der eingeschränkten Isometrie besagt: für jeden spärlichen Vektor . Die eingeschränkte Isometriekonstante ist , .

(1 - δ_{S}) | | x | |_{2}^{2} \leq | | A x | |_{2}^{2} \leq (1 + δ_{S}) | | x | |_{2}^{2}

$\begin{equation} (1-\delta_S)||x||_2^2 \le ||A x||_2^2 \le (1+\delta_S)||x||_2^2 \end{equation}$

S

$S$

x

$x$

δ_{S}

$\delta_S$

0 < δ_{S} < 1

$0 < \delta_S < 1$

Dies bedeutet, dass die Matrix garantiert nur die Länge eines Vektors "sehr wenig" ändert, solange der Vektor mindestens sparsam ist (höchstens Koeffizienten ungleich Null hat). $A$ $x$ $x$ $S$ $S$

Angenommen, wir haben beliebige -Sparse-Vektoren . Um solche Vektoren im Allgemeinen aus Messungen als rekonstruieren zu können , müssen wir sicher sein, dass es möglich ist, zwischen Messungen und von zwei solchen Vektoren zu unterscheiden. Wenn für zwei solche Vektoren und , könnten wir sie nicht unterscheiden und eindeutig rekonstruieren. Daher müssen wir sicherstellen, dass die Messungen von zwei beliebigen -Sparse-Vektoren "ausreichend unterschiedlich" sind. $\frac{S}{2}$ $x$ $y = A x$ $y_1 = A x_1$ $y_2 = A x_2$ $y_1 = y_2$ $x_1$ $x_2$ $\frac{S}{2}$

Wenn wir die Differenz zwischen zwei -Sparse-Vektoren berechnen, kann ihre Differenz höchstens Sparsamkeit betragen. Um also einen -Sparse-Vektor aus Messungen mit korrekt zu rekonstruieren , quantifiziert die eingeschränkte Isometrie-Eigenschaft, wie gut dies (je kleiner , besser). $\frac{S}{2}$ $S$ $\frac{S}{2}$ $A$ $A$ $\delta_S$

Für eine frühe Einführung in die komprimierte Abtastung und die eingeschränkte Isometrieeigenschaft (und andere Konzepte) siehe Candès & Wakin, 2008 .

— Thomas Arildsen
quelle

Beachten wir auch, dass die Konstante nicht auf beiden Seiten gleich sein muss, z. B. die Gaußsche Erfassungsmatrix. Bitte lesen Sie den aktuellen Artikel. arxiv.org/abs/1410.1956

δ_{S}

$\delta_{S}$

— Oliver

Sollte die gegebene Eigenschaft für eine Untermatrix von ?

A

$A$

— Dilawar

Kann man die RIP-Eigenschaft in der Praxis mit einem Algorithmus auf eine konkrete Matrix überprüfen?

— Charlie Parker

@CharlieParker nein leider nicht. Dabei wird die SVD aller möglichen Spalten-Untermatrizen von berechnet . Dies wird schnell eine unrealistische Zahl von Kombinationen auch für maßvoll dimensioniert berechnen . Und denken Sie daran, dass die Druckmessung umso besser funktioniert, je größer und .

S

$S$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

x

$x$

— Thomas Arildsen