was ist der Unterschied zwischen

Ich versuche Fourier Transform und Laplace Transform zu verstehen. Was ist der Unterschied zwischen der Notation und ? $X(j\omega)$ $X(\omega)$

Was ist die Bedeutung von $j\omega$ ? Stellt es Frequenz dar? Wenn ja, was bedeutet imaginäre Frequenz?

Danke im Voraus.

fourier-transform laplace-transform

— verdery
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Die Laplace-Transformation deckt die gesamte 2D-S-Ebene ab. Die Fourier-Transformation ist nur die 1D-Schicht dieser Ebene entlang der jω-Achse

— Endolith

Beide Notationen sind gemeinsam und korrekt. Wie von Yuri Nenakhov hervorgehoben, der Vorteil des Arguments $j\omega$ ist, dass es mit der komplexen Variablen (Laplace-Transformation) übereinstimmt $s$ wenn sein Realteil Null ist. Beachten Sie, dass in der Anlage $s$ -Ebene die Frequenzachse ist die imaginäre Achse. Damit $j\omega$ hat nichts mit komplexer Frequenz zu tun (was keinen Sinn macht).

Also, wenn sich der Laplace verwandelt $X(s)$ eines Signals $x(t)$ existiert, und wenn sich die imaginäre Achse innerhalb ihres Konvergenzbereichs befindet, wird die Fourier-Transformation durch Setzen erhalten $s=j\omega$ .

Beachten Sie, dass dies im Allgemeinen nicht funktioniert! Im Allgemeinen können Sie die Fourier-Transformation nicht durch Ersetzen erhalten $s$ mit $j\omega$ und umgekehrt. Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit dies zu einem korrekten Ergebnis führt:

Beide Transformationen müssen existieren (in dem Sinne, dass das entsprechende Signal $x(t)$ hat eine Laplace-Transformation und eine Fourier-Transformation).
Die imaginäre Achse $s=j\omega$ muss innerhalb des Konvergenzbereichs der Laplace-Transformation liegen.

Ein Beispiel, wo ersetzt $s$ durch $j\omega$ funktioniert nicht, obwohl beide Transformationen existieren, ist die Schrittfunktion:

\begin{aligned} x (t) = u (t) \\ Laplace-Transformation: & X. (s) = \frac{1}{s} \\ Fourier-Transformation: & \hat{X.} (j ω) = π δ (ω) + \frac{1}{j ω} \neq X. (s) |_{s = j ω} \end{aligned}

$\begin{align}&x(t)=u(t)\\\text{Laplace transform: }&X(s)=\frac{1}{s}\\ \text{Fourier transform: }&\hat{X}(j\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\neq X(s)|_{s=j\omega}\end{align}$

— Matt L.
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Ich bin mit Ihrem Beispiel nicht einverstanden. Es ist klar, dass die Laplace-Transformation der Heaviside-Funktion bei s = 0 nicht existiert (und auf der imaginären Achse auch nur durch analytische Fortsetzung existiert), sodass Ihre eigenen Anforderungen fehlschlagen. Beachten Sie auch, dass die Fourier-Transformation und die Laplace-Transformation dort zusammenfallen, wo beide definiert sind.

— Jazzmaniac

@Jazzmaniac: Die Laplace-Transformation der Schrittfunktion existiert. Es hat eine Stange an

s = 0

$s=0$ . Dies unterscheidet sich von Fällen, in denen die Laplace-Transformation nicht vorhanden ist (z. B. für

x (t) = \sin (ω t)

$x(t)=\sin(\omega t)$ ). Wenn Sie nicht sagen, dass die Fourier-Transformation von

x (t) = u (t)

$x(t)=u(t)$ kann erhalten werden von

X (s)

$X(s)$ indem man es einstellt

s = j ω

$s=j\omega$ (was falsch ist), ich bin mir nicht sicher, was du sagst.

— Matt L.

Ich sage, dass die Laplace-Transformation bei s = 0 nicht existiert, und genau genommen existiert sie nicht einmal bei real (s) = 0. Das falsche Integral konvergiert dort nicht. Sie können dies beheben, indem Sie entweder eine Cauchy-Hauptwertzuweisung auf das Integral anwenden oder die Laplace-Transformation bei Real (s)> 0 analytisch fortsetzen. Aber was auch immer Sie tun, Sie können es nicht für s = 0 reparieren. Die Laplace-Transformation existiert also nicht überall auf der imaginären Achse, und wenn Sie wirklich streng sind, existiert sie nirgends auf der imaginären Achse im eigentlichen Sinne.

— Jazzmaniac

Deshalb ist die Meinungsverschiedenheit zwischen der Laplace-Transformation und der Fourier-Transformation bei

s = 0

$s=0$ oder

ω = 0

$\omega=0$ ist das Mindeste, was Sie erwarten können. Es ist nicht viel mehr als ein glücklicher Zufall, der sich aus einigen schönen Eigenschaften der analytischen Fortsetzung ergibt, bei denen Sie das richtige Ergebnis erhalten

s = ω * j

$s=\omega*j$ zum

ω \neq 0

$\omega \neq 0$ . Ich stimme Ihrem Beispiel zu, aber nicht der Prämisse "... obwohl beide Transformationen existieren ...".

— Jazzmaniac

@ Jazzmaniac: OK, aber die Idee des Beispiels war es, einen einfachen Fall zu zeigen, in dem mit

X (s)

$X(s)$ die Laplace-Transformation,

X (j ω)

$X(j\omega)$ nicht (für alle

ω

$\omega$ ) gleich der Fourier-Transformation. Und dennoch existieren beide Transformationen für dieses Beispiel. Offensichtlich ist die Republik China von

X (s)

$X(s)$ ist

R e {s} > 0

$Re\{s\}>0$ . Die Schrittfunktion hat eine Laplace-Transformation und eine Fourier-Transformation, das ist alles, was ich sagen möchte, wenn ich sage, dass beide existieren. Ich werde später zwei weitere Beispiele hinzufügen, bei denen eines der beiden nicht existiert, um meinen Standpunkt etwas klarer zu machen.

— Matt L.

$X(j \omega)$ (Frequenzgang) ist eine Fourier-Transformation der Impulsantwort des Systems. Es ist eigentlich eine Funktion der Frequenz ( $\omega$ ) wird aber normalerweise geschrieben als $X(j \omega)$ weil ersetzen $j \omega$ in der Formel mit $s$ gibt Ihnen die Laplace-Transformation des Systems $X(s)$ ohne zusätzliche Umbauten. (Dies funktioniert auch in die entgegengesetzte Richtung: Wenn Sie eine Laplace-Transformation haben, können Sie den Frequenzgang durch Ersetzen erhalten $s$ mit $j \omega$ .)

— Yuri Nenakhov
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Beachten Sie, dass das Ersetzen

s

$s$ mit

j ω

$j\omega$ und umgekehrt ist im Allgemeinen kein gültiger Weg, um die Fourier-Transformation von der Laplace-Transformation zu erhalten oder umgekehrt. Siehe meine Antwort.

— Matt L.