Wie kann man die Fourier-Transformation verallgemeinern?

Die Fourier-Transformation nimmt ein Signal auf und teilt es in eine Reihe von Sinus- und Cosinuswellen auf.

Mir wird gesagt, dass es möglich sein soll, ein Signal in andere Funktionen aufzuteilen. Meine Frage ist: Wie machst du das?

Ich gehe davon aus, dass die von Ihnen verwendeten Funktionen bestimmte Eigenschaften haben müssen, damit dies funktioniert. (Zum Beispiel müssen Sie "genug" verschiedene Funktionen haben, um alle Informationen des ursprünglichen Signals zu erfassen.) Wie finden Sie heraus, ob Ihr Funktionssatz geeignet ist? Und wie macht man dann die eigentliche Aufteilung?

Die Fourier-Transformation ist nur eine von so vielen verschiedenen Transformationen, die die Darstellung (normalerweise) einer Zeitreihe von der Zeitdomäne in eine andere Domäne (normalerweise eine Frequenzdomäne) ändern, aber andere Darstellungen existieren für andere Transformationen wie Zeit / Frequenz, Zeit / scale und andere).

Weitere Informationen zu Transformationen im Allgemeinen finden Sie in dieser Wikipedia- Artikelliste mit einigen beliebten und häufig verwendeten Transformationen. (Vielleicht möchten Sie sich zuerst auf die diskreten und integralen Transformationen konzentrieren.)

Alternativ können Sie diese aktuelle Diskussion darüber lesen, wie die Wavelet-Transformation eine ähnliche Zerlegung wie die Fourier-Transformation erzielt.

Wenn Sie den Luxus haben, gleichzeitig viele verschiedene Zeitreihen aus demselben Phänomen zu erfassen, können Sie sogar Techniken wie die Hauptkomponentenanalyse (PCA) und die unabhängige Komponentenanalyse (ICA) anwenden , die dazu führen, dass ein Signal in a umgewandelt wird Summe der Elementarwellenformen, die tatsächlich aus dem Signal selbst extrahiert werden (anstatt wie bei den Fourier- (und verwandten Transformationen) oder Wavelets voreingestellt zu sein).

Zusätzlich zu den hier gegebenen Antworten sollte ich hinzufügen, dass es Situationen gibt, in denen die Eindeutigkeit der Zersetzung oder sogar die Vollständigkeit nicht die gefragtesten Eigenschaften sind. Stattdessen wird eine "kompakte" Beschreibung mit so wenig Koeffizienten wie möglich gesucht, und zu diesem Zweck ist es nützlich, eine Zerlegungsbasis zu haben, die nicht an eine einzige "Familie" von Elementen (z. B. Sinuswellen) gebunden ist. In solchen Situationen können Sie wirklich alles, was Sie wollen, in die Basis setzen, die Sie für Ihre Zerlegung verwenden, und die Zerlegung selbst wird unter Verwendung des Matching Pursuit-Algorithmus durchgeführt. Dies erweist sich als gut geeignet für Audiosignale, die sowohl sehr stabile, anhaltende Segmente (den langen, abklingenden, fast reinen Klang einer Vibraphonote) als auch einen vorübergehenden Teil (den sehr breitbandigen Energiestoß am Anfang) aufweisen können der Notiz).

Die Fourier-Transformation ist eine der vielen Möglichkeiten, eine Funktion als gewichtete Summe einiger anderer Funktionen auszudrücken, die häufig als Basisfunktionen bezeichnet werden. Dies kann aus zwei Gründen erfolgen

1. Die Basisfunktion kann physikalische Bedeutung haben und / oder einen Einblick in die Natur der ursprünglichen Funktion geben. Die Basisfunktion kann als "Bestandteil" der Funktion angesehen werden.
2. Es kann die Mathematik erleichtern. Anstatt die Funktion zu bearbeiten, können Sie sie in Basisfunktionen aufteilen, die Basisfunktionen bearbeiten und sie dann wieder zusammenfügen.

Die Fourier-Transformation ist beliebt, da sie beides tut: Die Basisfunktionen sind Sinuswellen mit dem Parameter "Frequenz", die eine genau definierte physikalische Bedeutung haben, und sie sind auch für lineare zeitinvariante Systeme unveränderlich. Dh Sinuswelle rein gibt Sinuswelle raus. Beide Eigenschaften sind sehr nützlich. Die Fourier-Transformation ist keineswegs der einzige Weg, dies zu tun. Jeder Satz linearer unabhängiger Funktionen kann verwendet werden. Beliebt sind orthonormale Basen, da dies die eigentlichen Transformationen sehr einfach macht.