Was ist der Unterschied zwischen Phasenverzögerung und Gruppenverzögerung?

Ich lerne DSP und habe Probleme, den Unterschied zwischen Phasenverzögerung und Gruppenverzögerung zu verstehen .

Es scheint mir, dass beide die Verzögerungszeit von Sinuskurven messen, die durch einen Filter geleitet werden.

• Habe ich recht, wenn ich das denke?
• Wenn ja, wie unterscheiden sich die beiden Messungen?
• Könnte jemand ein Beispiel für eine Situation geben, in der eine Messung nützlicher wäre als die andere?

AKTUALISIEREN

In Julius Smiths Einführung in digitale Filter habe ich eine Situation gefunden, in der die beiden Messungen zumindest unterschiedliche Ergebnisse liefern: Affinphasenfilter . Das ist eine teilweise Antwort auf meine Frage, denke ich.

Erstens sind die Definitionen unterschiedlich:

• Phasenverzögerung: (das Negative von) Phase geteilt durch Frequenz
• Gruppenverzögerung: (das Negative von) Erste Ableitung von Phase gegen Frequenz

In Worten bedeutet das:

• Phasenverzögerung: Phasenwinkel an diesem Frequenzpunkt
• Gruppenverzögerung: Änderungsrate der Phase um diesen Frequenzpunkt.

Wann Sie das eine oder andere verwenden müssen, hängt wirklich von Ihrer Anwendung ab. Die klassische Anwendung für Gruppenverzögerungen sind modulierte Sinuswellen, beispielsweise AM-Radio. Die Zeit, die das Modulationssignal benötigt, um das System zu durchlaufen, ist durch die Gruppenverzögerung und nicht durch die Phasenverzögerung gegeben. Ein anderes Audiobeispiel könnte eine Kick-Drum sein: Dies ist meist eine modulierte Sinuswelle. Wenn Sie also bestimmen möchten, um wie viel die Kick-Drum verzögert (und möglicherweise zeitlich verschmiert) wird, ist die Gruppenverzögerung die Art und Weise, wie Sie sie betrachten.

Sie messen beide nicht, um wie viel eine Sinuskurve verzögert ist. Die Phasenverzögerung misst genau das. Gruppenverspätung ist etwas komplizierter. Stellen Sie sich eine kurze Sinuswelle mit einer darauf angewendeten Amplitudenhüllkurve vor, so dass sie ein- und ausgeblendet wird, beispielsweise ein Gauß-Faktor multipliziert mit einer Sinuskurve. Diese Hülle hat eine Form und insbesondere eine Spitze, die die Mitte dieses "Pakets" darstellt. Die Gruppenverzögerung gibt an, um wie viel die Amplitudenhüllkurve verzögert wird, insbesondere um wie viel sich die Spitze dieses Pakets bewegt.

Ich denke gerne darüber nach, indem ich zur Definition der Gruppenverzögerung zurückkehre: Sie ist die Ableitung der Phase. Die Ableitung gibt Ihnen eine Linearisierung der Phasenantwort an diesem Punkt. Mit anderen Worten, bei einer bestimmten Frequenz gibt die Gruppenverzögerung ungefähr Auskunft darüber, in welchem ​​Verhältnis der Phasengang der Nachbarfrequenzen zum Phasengang an diesem Punkt steht. Denken Sie jetzt daran, wie wir eine amplitudenmodulierte Sinuskurve verwenden. Die Amplitudenmodulation nimmt die Spitze der Sinuskurve auf und führt Seitenbänder bei benachbarten Frequenzen ein. In gewisser Weise gibt Ihnen die Gruppenverzögerung Informationen darüber, wie die Seitenbänder relativ zu dieser Trägerfrequenz verzögert werden, und das Anwenden dieser Verzögerung ändert die Form der Amplitudenhüllkurve in gewisser Weise.

Das verrückte Ding? Kausalfilter können eine negative Gruppenverzögerung haben! Nehmen Sie Ihren Gauß-Faktor multipliziert mit einer Sinuskurve: Sie können eine analoge Schaltung so aufbauen, dass beim Durchsenden dieses Signals die Spitze der Hüllkurve im Ausgang vor dem Eingang erscheint. Es scheint ein Paradox zu sein, da der Filter in die Zukunft "sehen" muss. Es ist auf jeden Fall komisch, aber eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, dass der Filter, da der Umschlag eine sehr vorhersehbare Form hat, bereits über genügend Informationen verfügt, um zu antizipieren, was passieren wird. Wenn eine Spitze in der Mitte des Signals eingefügt würde, würde der Filter dies nicht antizipieren. Hier ist ein wirklich interessanter Artikel dazu: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Für diejenigen, die immer noch nicht kreuzen können, ist der Unterschied hier ein einfaches Beispiel

$v(t)$

$$v(t) \cdot \sin(\omega t)$$

Wenn Sie dieses Signal am Ende der Übertragungsleitung messen, kann es in etwa so aussehen:

$$v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega t + \phi)\\ = v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega (t - \tau_\phi))$$

$\phi$

$\sin(\omega t)$$\tau_\phi = -\tfrac{\phi}{\omega}$

$v(t)$$\tau_g = -\tfrac{d\,\phi}{d\,\omega}$

Die Phasenverzögerung ist nur die Laufzeit für eine einzelne Frequenz, während die Gruppenverzögerung die Amplitudenverzerrung misst, wenn ein Array mit mehreren Frequenzen angewendet wird.

Die Phasenverzögerung eines Filters ist die Zeitverzögerung, mit der jede Frequenzkomponente die Filter durchläuft (wenn ein Signal aus mehreren Frequenzen besteht).

Die Gruppenverzögerung ist die durchschnittliche Zeitverzögerung des zusammengesetzten Signals, die bei jeder Frequenzkomponente auftritt.

Ich weiß, dass dies eine ziemlich alte Frage ist, aber ich habe nach einer Ableitung der Ausdrücke für Gruppenverzögerung und Phasenverzögerung im Internet gesucht. Es gibt nicht viele solcher Ableitungen im Internet, also dachte ich, ich würde das, was ich gefunden habe, teilen. Beachten Sie auch, dass diese Antwort eher eine mathematische als eine intuitive Beschreibung ist. Eine intuitive Beschreibung finden Sie in den obigen Antworten. Also, hier geht's:

$$a(t) = x(t)cos(\omega_0 t)$$ $$H(j\omega) = e^{j\phi(\omega)}$$ $$A(j\omega) = {1 \over 2\pi}X(j\omega) * (\pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0))$$ $$A(j\omega) = {X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)) \over 2}$$ $$B(j\omega) = {e^{j\phi(\omega)} \over 2} (X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)))$$ $\phi(\omega)$$x(t)$$\omega_0$$a(t)$$x(t)$$B(j\omega)$$\omega_0$$-\omega_0$$\phi(\omega)$ $$\phi(\omega) = \phi(\omega_0) + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)(\omega - \omega_0) = \alpha + \beta\omega$$ $$\alpha = \phi(\omega_0) - \omega_0\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$$ $$\beta = \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$$ $B(j\omega)$ $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega - \omega_0)) e^{j(\omega t + \alpha + \beta\omega)} d\omega$$ $\omega - \omega_0$$\omega'$ $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega')) e^{j((\omega' + \omega_0) (t + \beta) + \alpha)} d\omega'$$ $$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \omega_0\beta + \alpha)}}{2}$$ $\alpha$$\beta$ $$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$$ $B(j\omega)$$\omega_0$$-\omega_0$$\phi(\omega)$ $$x(t + \beta)\frac{e^{-j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$$ $$b(t) = x(t + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0))cos(\omega_0(t + \frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}))$$ $x(t)$$(\tau_g)$$(\tau_p)$ $$\tau_g = -\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$$ $$\tau_p = -\frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}$$