Warum ist die Fourier-Transformation eines Dirac-Kamms ein Dirac-Kamm?

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Das ergibt für mich keinen Sinn, da die Heisenberg-Ungleichung besagt, dass ~ 1. $\Delta t\Delta \omega$

Wenn Sie also etwas in der Zeit perfekt lokalisiert haben, erhalten Sie etwas, das in der Frequenz vollständig verteilt ist. Daher ist die Grundbeziehung wobei der Fouriertransformationsoperator ist . $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ $\mathfrak{F}$

Für den Dirac-Kamm erhalten Sie bei Anwendung der Fourier-Transformation einen weiteren Dirac-Kamm. Intuitiv sollten Sie auch eine andere Zeile erhalten.

Warum versagt diese Intuition?

fourier-transform

— Carlos - der Mungo - Gefahr
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Ich glaube, der Irrtum ist zu glauben, dass ein Dirac- Kamm rechtzeitig lokalisiert ist. Dies liegt nicht daran, dass es sich um eine periodische Funktion handelt, und als solche kann es Frequenzkomponenten nur bei Vielfachen seiner Grundfrequenz aufweisen, dh an diskreten Frequenzpunkten. Es kann kein kontinuierliches Spektrum haben, sonst wäre es nicht zeitlich periodisch. Wie jede andere periodische Funktion kann ein Dirac-Kamm durch eine Fourier-Reihe dargestellt werden, dh als unendliche Summe komplexer Exponentiale. Jedes komplexe Exponential entspricht einem Dirac-Impuls im Frequenzbereich bei einer anderen Frequenz. Das Summieren dieser Dirac-Impulse ergibt einen Dirac-Kamm im Frequenzbereich.

— Matt L.
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Ja, kein periodischer Kamm ist in seiner jeweiligen unabhängigen Variablen (Zeit / Frequenz) lokalisiert.

— Peter K.

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Ihre Intuition versagt, weil Sie mit falschen Annahmen beginnen. Die Unsicherheit von Heisenberg sagt nicht, was Sie denken, dass es sagt. Wie Sie bereits in Ihrer Frage sagen, handelt es sich um eine Ungleichung . Um genau zu sein, ist es

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

Es gibt keinen Grund, warum das Unsicherheitsprodukt für alle Signale nahe an seiner Untergrenze liegen muss. Tatsächlich sind die einzigen Signale, die diese unterste Grenze erreichen, Gabor-Atome. Erwarten Sie für alle anderen Signale, dass sie größer und möglicherweise sogar unendlich sind.

— Jazzmaniac
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Richtig, aber der Haupttrugschluss ist zu denken, dass ein Dirac-Kamm rechtzeitig lokalisiert wird. Es ist nicht, weil es periodisch ist. Der Ungewissheitssatz sagt also nichts Nützliches über einen Dirac-Kamm aus.

— Matt L.

@MattL., So verstehe ich die ursprüngliche Frage nicht. Ich denke, er argumentiert tatsächlich, dass der Dirac-Zug in seiner Heimatdomäne vollständig delokalisiert ist und sich daher Fourier in etwas sehr Lokalisiertes verwandeln sollte.

— Jazzmaniac

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OK, es scheint ein Missverständnis darüber zu geben, was das OP mit "einer anderen Zeile" bedeutet. Ich dachte, dies bezieht sich auf ein flaches Spektrum (genau wie das Spektrum eines Dirac-Impulses, auf den er sich zuvor bezogen hat). Aber Sie dachten, dies bezieht sich auf eine Spektrallinie, dh eine einzelne Frequenz. Zumindest verstehe ich jetzt, wie Ihre Antwort die Frage des OP beantworten könnte.

— Matt L.

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@MattL., Ich dachte eigentlich, er meint die übliche grafische Darstellung von Dirac-Distributionen, wenn er "line" schreibt. In jedem Fall muss er klarstellen, wie die Frage wirklich auf mindestens zwei verschiedene Arten gelesen werden kann.

— Jazzmaniac

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, die "Standard" -Definition ist eine physikalische Aussage, die Momentum- und Positionsunsicherheiten (insbesondere Standardabweichungen) in

und ein

. und auch so, in diesem Fall müssen Sie definieren , was unter „gemeint ist ,

“ und „

“. diese Konstante (die Sie als

angeben)

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) kann nicht zu weit von der Einheit entfernt sein (in der logarithmischen Skala), muss aber nicht

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

außer aufgrund einer spezifischen Definition für "

" und "

".

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— Robert Bristow-Johnson

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Elektroingenieure spielen ein bisschen schnell und locker mit der Dirac-Delta-Funktion, die nach Ansicht der Mathematiker keine Funktion (oder zumindest keine "normale" Funktion, sondern eine "Verteilung") ist. die mathematische Tatsache ist, dass wenn $f(t)=g(t)$ "fast überall" ist (was bei jedem Wert von $t$ außer einer zählbaren Anzahl von diskreten Werten bedeutet), dann gilt

\int f (t) d t = \int G (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ .

Nun, die Funktionen $f(t)=0$ und $g(t)=\delta(t)$ sind überall gleich, außer bei $t=0$ , aber wir Elektrotechniker bestehen darauf, dass ihre Integrale unterschiedlich sind. Aber wenn Sie diesen kleinen (und meiner Meinung nach unpraktischen) Unterschied beiseite lassen, lautet die Antwort auf Ihre Frage:

die Dirac - Kammfunktion
${ich ich ich}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ ist eine periodische Funktion der Periode $T$ und damit eine Fourier - Reihe hat: ${ich ich ich}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
Wenn Sie die Koeffizienten $c_n$ der Fourier-Reihe heraussprengen, erhalten Sie:

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

So lautet die Fourier-Serie für den Dirac-Kamm

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

was bedeutet, dass Sie nur ein Bündel von Sinuskurven gleicher Amplitude aufsummieren.

Die Fourier-Transformation eines einzelnen komplexen Sinus ist:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

und es gibt diese Eigenschaft der Linearität in Bezug auf die Fourier-Transformation. Der Rest des Beweises ist eine Übung, die dem Leser überlassen bleibt.

— Robert Bristow-Johnson
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@ Jazzmaniac, das ist eine Lüge. Wann habe ich mich jemals gegenüber Mathematikern herablassen lassen? (Ich denke, Sie projizieren ein bisschen.) Übrigens ist es 38 Jahre her, dass ich zwei Semester Funktionsanalyse auf der Ebene der Absolventen hinter mir habe. Ich erinnere mich nicht an alles, aber ich erinnere mich sicher, was ein metrischer Raum ist, ein normierter metrischer Raum (ich glaube, sie wurden manchmal "Banach - Räume" genannt) und innere Produkträume (manchmal "Hilbert - Räume" genannt), und was für ein funktionsfähig ist (Karten von einer dieser zu einer Nummer). und ich weiß, was lineare Räume sind. über

stört es mich nicht, wenn sie nackt sind.

δ (t)

$\delta(t)$

— Robert Bristow-Johnson

Sie führen ein falsches Argument an, das besagt, dass Mathematiker bei der Integration über eine Dirac-Distribution keine 1 erhalten. Sie können nicht besser nachweisen, dass Sie die Dirac-Distribution nicht verstanden haben, selbst wenn Sie eine Klasse zur Funktionsanalyse besucht haben. Es braucht keine Elektrotechniker wie Sie, um die Mathematik zu "reparieren". Und ich werde Sie so lange darauf hinweisen, bis Sie aufhören, über solche Mathematiker zu sprechen. Sie haben die Wahl.

— Jazzmaniac,

das ist auch eine Lüge, @Jazzmaniac. Ich sage , dass, im Einklang mit dem, was uns sagt Mathematiker, ist die Dirac - Delta - Funktion nicht wirklich eine Funktion (auch wenn wir Elektroingenieure keine Sorge über diese Auszeichnung und mit ihr umgehen , als wäre es eine Funktion war) , denn wenn es war ein Funktion, die fast überall Null war, wäre das Integral Null. warum stellst du mich immer wieder falsch dar? Was ist die Axt, die du schleifst?

— Robert Bristow-Johnson

@ robertbristow-johnson "Elektroingenieure spielen mit der Dirac-Delta-Funktion ein bisschen schnell und locker." Paul Dirac war Elektroingenieur. Claude Shannon war auch Elektroingenieur. Ich ermahne Sie, solche allgemeinen und ungenauen Aussagen zu machen. Sie behaupten, Elektroingenieur zu sein und die Verteilungstheorie klar zu verstehen.

— Mark Viola

Nahezu jedes Lehrbuch der Elektrotechnik für Studierende über Lineare Systemtheorie oder Signale und Systeme oder einen ähnlichen Namen wird das Dirac-Delta als Grenzfall für ein "im Entstehen begriffenes Delta" einführen und behandeln . zB:

oder eine andere Einheitsflächenimpulsfunktion, die Sie dünn machen können. Es würde mich nicht überraschen, dass Leute wie Shannon oder Dirac (die das nicht wussten) bei den konservativen Tatsachen bleiben würden

und

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$

.

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$

— Robert Bristow-Johnson

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Ich werde versuchen, eine Intuition zu geben. Die Art und Weise, wie wir wahrscheinlich denken könnten, ist: "Ein Dirac-Delta gibt uns eine 1 im Frequenzbereich. Jetzt gebe ich unendlich viele Dirac-Deltas. Sollte ich keine höhere DC bekommen?" Lassen Sie uns nun sehen, ob wir durch Hinzufügen aller im Dirac-Kamm genannten Frequenzkomponenten im Frequenzbereich (FD) einen weiteren Dirac-Kamm im Zeitbereich (TD) erhalten. Wir fügen kontinuierliche Wellenformen hinzu und erhalten Deltas an diskreten Punkten. Klingt komisch.

$\omega_0$ $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$

$t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$

$cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ $\pi$ $cos(kn)$ $cos(kn)$ $k = 2\pi$

$t=t_0 \neq 2r\pi$ $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ $t=t_0$ . Aber wir haben diese unendliche Summe = 0 bereits für jedes t mit Ausnahme von bewiesen $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$

— Subramanian TR
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