Verbessern der Digitalisierung durch Hinzufügen von weißem Rauschen vor dem Überabtasten

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Ich las ein Physikbuch und es hieß, dass beim Digitalisieren eines Signals weißes Rauschen hinzugefügt wurde, um den Prozess zu verbessern. Ich verstehe nicht, wie das funktioniert. Daher lautet meine Frage:

Wie kann beim Hinzufügen eines analogen Signals das Hinzufügen von Rauschen in Kombination mit einer zeitlichen Überabtastung vorteilhaft sein?

noise digitize dithering

— Sibirischer Stoff
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Sprechen Sie über Dithering? Weitere Informationen finden Sie unter en.wikipedia.org/wiki/Dither .

@DavidZ Wenn dieses Off-Thema, warum gibt es schon so viele Antworten? Einige Leute haben in der Meta gesagt, dass sie gerne mathematische Fragen behalten , solange sie für die Physik relevant sind. Warum sollte sich dieser Denkprozess für andere Themen unterscheiden?

— DanielSank

@DanielSank, weil eine Frage, die nicht zum Thema gehört, die Leute nicht davon abhält, sie zu beantworten. Wenn Sie der Meinung sind, dass Fragen zur Signalverarbeitung zum Thema gehören sollten und Sie der Meinung sind, dass die Community mit Ihnen übereinstimmt, nehmen Sie sie in das Meta auf und verfassen Sie einen Beitrag, in dem diese Änderung des Geltungsbereichs der Website vorgeschlagen wird.

— David Z

Experimentalisten müssen sich in gewissem Maße mit den Unwägbarkeiten der digitalen Probenahme auseinandersetzen. Ich bin nicht gerade damit einverstanden, eine Frage von einer abgestuften Site (Physics StackExchange) auf eine Beta-Site (diese Site) zu verschieben, aber was getan wird, wird getan. Hoffentlich wird diese Migration die Aufmerksamkeit von Menschen mit größerem Wissen auf sich ziehen. Mein Wissen in Bezug auf saubere Signale ist vor der Jahrtausendwende. Als ich das letzte Mal mit realen Signalen arbeiten musste, hatte ich nicht nur ein geringes Signal-Rausch-Problem. Ich hatte ein Rausch-zu-Signal-Problem von über eins. Der Umgang damit hat ziemlich viel Spaß gemacht (im masochistischen Sinne).

— David Hammen

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Das Hinzufügen von unkorreliertem (dh weißem) Rauschen zu einem analogen Signal vor der Digitalisierung wird als Dithering bezeichnet . Um zu verstehen, warum wir dies tun würden, müssen wir die Idee des Quantisierungsrauschens verstehen . Stellen Sie sich ein analoges System mit Signalen mit einer Amplitude von 0 bis 100 vor. Angenommen, wir digitalisieren dieses Signal mit einem Digitalisierer, dessen digitale Pegel um 1 voneinander beabstandet sind. Mit anderen Worten, die möglichen digitalisierten Pegel sind

{- - 100, - - 99, - - 98 \dots 99, 100}} .

$\left\{ -100, -99, -98 \ldots 99, 100 \right\} \, .$

Angenommen, das analoge Signal ist mit anderen Worten ein Gleichstromsignal mit dem Wert 0,8 $s(t)$

s (t) = 0.8 .

$s(t) = 0.8 \, .$

Wenn wir dies in den Digitalisierer einfügen, rundet der Digitalisierer es auf 1 und unsere digitalen Samples sind $s_n$

s_{n} = 1 .

$s_n = 1\,.$

Dies ist nicht gut, da unser digitales Signal jetzt Fehler akkumuliert, wenn wir mehr Signal erfassen. Der digitalisierte Pegel ist immer zu hoch. Je länger wir das Signal mitteln, desto mehr überschätzen wir den analogen Pegel.

Das Hinzufügen von weißem Rauschen hilft, dieses Problem zu beheben, da der analoge Pegel so verschoben wird, dass er benachbarte Digitalisierungspegel überschreitet. Wenn Sie also über einen Satz digitalisierter Werte mitteln, erhalten Sie tatsächlich etwas, das nahe am tatsächlichen Analogpegel liegt. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels sehen.

$\sigma=2$

p (x) \propto \exp [\frac{- - (x - - s (t))^{2}}{2 σ^{2}}]] = \exp [\frac{- - (x - - 0,8)^{2}}{8}]] .

$p(x) \propto \exp \left[ \frac{-(x - s(t))^2}{2\sigma^2} \right] = \exp \left[ \frac{-(x-0.8)^2}{8} \right] \, .$

$\langle s_n \rangle$ $p(x)$

N. = \sum_{m = - - 100}^{100} \exp [\frac{- - (m - - 0,8)^{2}}{8}]]

$N = \sum_{m=-100}^{100} \exp \left[ \frac{-(m-0.8)^2}{8} \right]$

⟨ s_{n} ⟩ = \frac{1}{N.} \sum_{m = - - 100}^{100} m \exp [\frac{- - (m - - 0,8)^{2}}{8}]] = 0,79999 \dots

$\langle s_n \rangle = \frac{1}{N} \sum_{m=-100}^{100} m \exp\left[ \frac{-(m-0.8)^2}{8}\right] = 0.79999\ldots$

$\langle s_n\rangle$

— DanielSank
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Durch Dithering (absichtliches Hinzufügen von Rauschen) des Eingangssignals in Kombination mit Überabtastung kann (keine Garantie!) Die effektive Anzahl von Bits im Signal verbessert und das Signal-Rausch-Verhältnis erhöht werden.

Unter der Annahme, dass der zugrunde liegende Prozess ein Prozess mit weißem Rauschen ist, sieht das digitalisierte Signal immer noch wie weißes Rauschen aus, wenn der Quantisierungspegel weit im Rauschen liegt. Dies ist im Allgemeinen eine gute Sache. Weißes Rauschen hat ziemlich schöne mathematische Eigenschaften. Der Umgang mit dem nichtlinearen, signalabhängigen Quantisierungsrauschen ist schwierig. Dieses Quantisierungsrauschen kann im Allgemeinen ignoriert werden, wenn der Quantisierungspegel weit im Rauschen liegt.

Was ist, wenn der Quantisierungspegel nicht gut im Rauschen liegt? Jetzt müssen Sie mit unordentlichem Quantisierungsrauschen umgehen. Eine Möglichkeit, damit umzugehen, besteht darin, einen ADC mit höherer Auflösung zu verwenden und die Quantisierung gut in Rauschen umzuwandeln. Eine Alternative besteht darin, dem Eingangssignal absichtlich weißes Rauschen hinzuzufügen, um das Quantisierungsrauschen Ihres billigen ADC im Vergleich zum (geditherten) Signalrauschen klein zu machen.

Die Grundidee besteht darin, das Eingangssignal so zu zittern, dass das Rauschen im geditherten Signal das Quantisierungsrauschen dominiert (aber offensichtlich nicht zu stark). Das geditherte Signal wird absichtlich überabgetastet und dann durch Mitteln von zwei oder mehr aufeinanderfolgenden Messungen heruntergetastet. Diese Mittelung kauft nur dann etwas, wenn das Eingangssignal im Vergleich zum Quantisierungsrauschen verrauscht ist. Das gemittelte Quantisierungsrauschen sieht aus wie das Quantisierungsrauschen. Durch Mittelung des weißen Rauschens steigt das Signal aus dem Rauschen an.

Weitere Informationen finden Sie in Walt Kesters Tutorial Die guten, die schlechten und die hässlichen Aspekte des ADC-Eingangsrauschens - Ist kein Rauschen ein gutes Rauschen? .

— David Hammen
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@DanielSank Wenn er speziell nach weißem Rauschen fragte, würde eine Antwort auf Quantisierungsrauschen die gestellte Frage nicht beantworten.

— Das Photon

@ ThePhoton: Bestätigen! Das war ein Tippfehler. Er fragte nach der spektralen Dichte des Quantisierungsrauschens . Ugh, und jetzt kann ich den Kommentar nicht bearbeiten.

— DanielSank

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Reposting-Kommentar mit Fix: Die Tatsache, dass Quantisierungsrauschen nicht additiv ist, hat mich in einem Vorstellungsgespräch in Schwierigkeiten gebracht. Der Typ fragte: "Wie hoch ist die spektrale Dichte des Quantisierungsrauschens?" Ich erklärte, dass es nicht wirklich eine spektrale Dichte hat und versuchte ihm zu zeigen warum, aber er bekam es nicht. Ich denke, er wollte nur die vorgefertigte Antwort für den Fall, dass Sie davon ausgehen, dass die digitalen Pegel bereits im analogen Rauschen liegen (wie in Ihrer Antwort erwähnt). In diesem Fall ist das Digitalisierungsrauschen weiß, wie Sie sagen.

— DanielSank

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Ja, das Hinzufügen von unkorreliertem Rauschen zu einem Signal und das anschließende Mitteln mehrerer Abtastwerte ist eine Möglichkeit, mit Quantisierungsrauschen umzugehen.

Um dies deutlich zu machen, denken Sie an den Grenzfall. Sie möchten den Wert eines Signals zwischen 0 und 1 messen, haben aber nur ein 1-Bit-A / D. Der A / D-Ausgang ist 0, wenn das Signal von 0 bis 0,5 ist, und 1, wenn das Signal 0,5 bis 1 ist.

Betrachten Sie nun ein Signal, das .3 ist. Mit einer schönen sauberen .3 in ergibt der A / D immer 0. Sie können beispielsweise nicht zwischen einem Eingangssignal von .1, .25, .3 usw. unterscheiden.

Fügen Sie nun zufälliges Rauschen von ± 0,5 hinzu. Das vom A / D gesehene Signal liegt jetzt irgendwo zwischen -.2 und .8. Eine 0-Ausgabe hat eine Wahrscheinlichkeit von 0,7 und eine 1-Ausgabe von 0,3. Jeder Messwert sagt nicht viel aus (im Gegensatz zu früher, als das Signal zwischen 0 und 0,5 lag), aber nach einer Reihe von Messwerten erhalten Sie eine vernünftige Vorstellung vom Signal. Wenn Sie beispielsweise 100 Messwerte erfassen, sind etwa 30 davon 1 und 70 0. Es gibt keine Garantie dafür. Je mehr Messwerte Sie jedoch mitteln, desto höher ist die Sicherheit, dass das durchschnittliche Ergebnis das Signal darstellt.

Dithering ist also ein Mittel, um Sicherheit und Bandbreite gegen eine Auflösung auszutauschen. Beachten Sie, dass Sie dies nicht tun, egal wie viele Messungen Sie durchführen wissen, dass sich das Signal innerhalb einer bestimmten Grenze befindet, sondern dass die Wahrscheinlichkeit , dass es sich innerhalb einer bestimmten Grenze befindet, hoch ist. Beachten Sie auch, dass Sie Bandbreite verloren haben, da viele Samples erforderlich sind, um einen Signalwert zu erhalten. In vielen Fällen sind dies jedoch nützliche Kompromisse.

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Die obigen Antworten, Dithering, sind richtig, aber ich möchte ausdrücklich darauf hinweisen, dass Sie explizit Auflösung gegen Zeit handeln. Ein Kompromiss zwischen Zeit und Genauigkeit. Der dramatischste Fall sind Delta-Sigma-Wandler. Sie haben (nun, es gibt wahrscheinlich Ausnahmen) 1 Bit Genauigkeit, aber durch Übertakten der Konvertierung können sie eine Auflösung von etwa 24 Bit extrahieren. In diesem Fall umgehen sie den Kompromiss durch Übertakten (viel).

Natürlich werden viele andere Techniken in realen Konvertern verwendet; aber das Prinzip gilt.

— rrogers
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Vor langer Zeit (Ende der 80er Jahre) brauchten wir die Fähigkeit, ein Energiespektrum der einfallenden Strahlung als Teil einer Gammakamera zu erstellen, die in der Nuklearmedizin eingesetzt wird. Dies erforderte einen schnellen ADC mit ausgezeichneter differentieller Linearität (im Grunde muss jeder "Behälter" des ADC genau die gleiche Breite haben, oder das analoge Signal, das kontinuierlich verteilt wird, führt zu einer "Beule" in einem kleinen Behälter etwas zu breit - und dies könnte wie ein Spektralpeak aussehen).

Die Lösung war eine interessante Variante des Dithering: Wir hatten einen kleinen DAC und einen Zähler und verwendeten diesen, um dem Eingang eine bekannte Signalmenge hinzuzufügen . Das Summensignal wurde dann unter Verwendung eines schnellen ADC mit (vergleichsweise) schlechter differentieller Linearität digitalisiert, und der Wert des DAC wurde nach der Umwandlung erneut subtrahiert; Danach wurde der Zähler (Eingabe in den DAC) um 1 erhöht (wobei der Überlauf ihn auf Null zurücksetzte). Dies hatte zur Folge, dass eine Spannung mit demselben Wert in einem von vielen Bins umgewandelt wurde, wodurch die differentielle Nichtlinearität des ADC um die Größe des DAC-Zählers verringert wurde.

Sie könnten dasselbe mit zufälligem Rauschen tun - aber wenn Sie nicht wissen, welches Rauschen Sie hinzufügen, verschlechtern Sie natürlich Ihr Signal. Wenn das Rauschen in etwa der Größe eines einzelnen ist in dem ADC ist, und Sie können mehrere Messungen durchführen, dies wird Ihnen ein Signal besser als die Auflösung des ADC schätzen helfen - vorausgesetzt , dass Sie das Differential - Linearitäts vertrauen können. Wenn Sie jedoch ein bekanntes "zufälliges" Signal hinzufügen (obwohl wir einen Zähler verwendet haben, war es "zeitlich zufällig", welcher Wert für eine bestimmte Konvertierung vorhanden sein würde) und dessen Wert berücksichtigen, können Sie noch präziser vorgehen.

— Floris
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