Lösen eines Faltungsproblems eines 1D-Signals

Ich habe Probleme beim Versuch, diese Übung zu lösen. Ich muss die Faltung dieses Signals berechnen:

y (t) = e^{- k t} u (t) \frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(π t)}

$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$

Dabei ist die Heavyside-Funktion $u(t)$

Nun, ich habe die Formel angewendet, die besagt, dass die Faltung dieser beiden Signale gleich ist

Y (f) = X (f) \cdot W (f)

$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$

wobei die Fourier-Transformation des ersten Signals ist und die Fourier-Transformation des zweiten Signals ist $X(f)$ $W(f)$

Nun, die Fourier-Transformation von ist $e^{-kt}u(t)$

X (f) = \frac{1}{k + j 2 π f}

$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$

Ich muss das zweite Signal so gleich wie möglich zu $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

Also mache ich diese Operation:

\frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(\frac{π t}{10})} (\frac{1}{10})

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$ dies ist gleich

(\frac{1}{10}) sinc (\frac{t}{10})

${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

richtig oder nicht?

— Mazzy
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Sieht für mich richtig aus. Eine Warnung: Einige Definitionen von sinc enthalten pi in den Parametern, wie Sie es getan haben, und andere nehmen es an (dh sie hätten sinc geschrieben (t / 10)). Beides ist in Ordnung, solange Sie verstehen, was Sie tun.

— Jim Clay

Beachten Sie auch, dass die inverse Fourier-Transformation von das gesuchte Faltungsergebnis ist. Die Verwendung der Dualität zwischen Faltung im Zeitbereich und Multiplikation im Frequenzbereich hilft Ihnen nicht unbedingt dabei, das Faltungsergebnis analytisch zu bestimmen, wenn die inverse Transformation schwierig ist.

Y (f)

$Y(f)$

— Jason R

Obwohl mir klar ist, dass dies eine sehr späte Antwort ist, werde ich dennoch versuchen, diese Frage zu beantworten, weil ich sie als lehrreich empfinde und weil die Anzahl der positiven Stimmen darauf hindeutet, dass diese Frage für die Community von allgemeinem Interesse ist.

Wie bereits in der Frage vorgeschlagen, definieren wir zwei Signale und als $x(t)$ $w(t)$

x (t) = e^{- k t} u (t), k > 0 w (t) = \frac{\sin (π t / 10)}{π t}

$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$

Eine mögliche Interpretation der Faltung besteht darin, dass ein exponentiell gedämpftes Signal durch ein ideales Tiefpassfilter mit Impulsantwort gefiltert wird . In der Frage wurde auch richtig darauf hingewiesen, dass die Faltung im Zeitbereich der Multiplikation im Frequenzbereich entspricht. Das Fourier-Integral von kann leicht berechnet werden: $(x*w)(t)$ $x(t)$ $w(t)$ $x(t)$

X (j ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- k t} e^{- j ω t} d t = \frac{1}{k + j ω}

$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$

Die Fourier-Transformation von sollte bekannt sein, da es sich um ein ideales Tiefpassfilter handelt. In der Frage gab es einige Verwirrung hinsichtlich der Definition der Sinc-Funktion. Ich schlage vor, sich einfach an die Impulsantwort eines Tiefpassfilters mit Einheitsverstärkung und Grenzfrequenz zu erinnern, ohne eine der Definitionen der Sinc-Funktion zu verwenden: $w(t)$ $\omega_0=2\pi f_0$

\begin{matrix} (1) & h_{L P} (t) = \frac{\sin ω_{0} t}{π t} \end{matrix}

$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$

Wenn wir (1) mit der Definition von , sehen wir, dass einfach ein Tiefpassfilter mit Einheitsverstärkung mit der Grenzfrequenz : wo ich die Sprungfunktion im Frequenzbereich verwendet habe. $w(t)$ $w(t)$ $\omega_0=\pi/10$

W (j ω) = u (ω + ω_{0}) - u (ω - ω_{0})

$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$

u (ω)

$u(\omega)$

Um die Zeitfunktion zu finden, kann man die inverse Fourier-Transformation von berechnen : $y(t)=(x*w)(t)$ $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

y (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) W (j ω) e^{j ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{0}}^{ω_{0}} \frac{1}{k + j ω} e^{j ω t} d ω

$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$

Leider gibt es keine geschlossene Lösung dieses Integrals unter Verwendung elementarer Funktionen. Sie kann numerisch mit dem Exponentialintegral oder alternativ mit den Sinus- und Cosinusintegralen und ausgewertet werden . Ich glaube also nicht, dass der Zweck der Übung darin bestand, die Faltung tatsächlich zu berechnen, aber ihr Zweck war wahrscheinlich, eine qualitative Beschreibung des Geschehens zu erstellen (exponentielles Signal, gefiltert durch ein ideales Tiefpassfilter). $\text{Ei}(x)$ $\text{Si}(x)$ $\text{Ci}(x)$

Trotzdem hielt ich es für lehrreich, das Signal , und bewertete es numerisch für die Parameter und . Die folgende Abbildung zeigt das Ergebnis: $y(t)$ $k=0.05$ $\omega_0=\pi/10$ Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die grüne Kurve ist das Eingangssignal und die blaue Kurve ist das gefilterte Signal . Beachten Sie die (nicht kausalen) Welligkeiten von für die durch das ideale (nicht kausale) Tiefpassfilter verursacht werden. Wenn wir die Grenzfrequenz des Tiefpassfilters erhöhen, sollte die Verzerrung des Eingangssignals kleiner werden. Dies wird in der nächsten Abbildung gezeigt, in der ich die Grenzfrequenz um den Faktor 10 erhöht habe, dh (anstelle von ): $x(t)$ $y(t)$ $y(t)$ $t<0$ $\omega_0=\pi$ $\pi/10$

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

— Matt L.
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Vielleicht wäre eine bessere Interpretation eine Sinc-Funktionseingabe, die auf ein physikalisch realisierbares Tiefpassfilter erster Ordnung angewendet wird, dessen Impulsantwort das abklingende Exponential ist?

— Dilip Sarwate

Sicher, das ist eine andere gültige Interpretation, aber warum besser? OK, das System kann realisiert werden, aber nicht das Eingangssignal. Ein idealer Tiefpassfilter ist ein Standardsystem, das häufig analysiert und zu Lehrzwecken verwendet wird, obwohl es nicht realisiert werden kann. Wie auch immer, zum Glück bleibt das Ergebnis das gleiche :)

— Matt L.