Was ist die

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Was ist die Transformation der Sequenz für ? $\mathcal Z$ $J_0(\alpha n)$ $n \in \mathbb{Z}$

Die Fourier - Transformation der Null - Ordnung Bessel - Funktion ist bekannt, dass $^{\rm th}$ $J_0(\alpha x)$ für. Dies hat einen Pol bei. Bedeutet dies, dass dieTransformation auch einen Pol auf dem Einheitskreis hat? $\frac{2}{\sqrt{\alpha^2 - \omega^2}}$ $|\omega| < \alpha$ $\omega = \alpha$ $\mathcal Z$

BEARBEITEN:

Das Problem, das ich betrachte, betrifft diskrete Stichproben der Bessel-Funktion, dh . Wie soll ich vorgehen, um die Transformation zu bestimmen ? $J_0(n)$ $\mathcal Z$

fourier-transform z-transform

— sauravrt
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Ich bin gespannt, was ist die Anwendung dafür?

— Nibot

@nibot Ich arbeite mit einem isotropen Rauschmodell und für den 2D-Fall sind die Rauschkovarianzmatrixelemente Bessel-Funktionen erster Ordnung nullter Ordnung. An die Eigenwerte der cov. Die Matrix hängt zufällig mit der Z-Transformation der Bessel-Funktionssequenz zusammen.

— Sauravrt

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Die Taylor-Expansion für die Bessel-Funktion der ersten Art und 0. Ordnung ist

{J.}_{0} (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(- - 1)^{m}}{(m!)^{^{2}}} {(\frac{1}{2} x)}^{2 m}

$J_{0}\left ( x \right )= \sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{^{2}}}\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2m}$

(siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function )

Sie können dies also grundsätzlich als Z-Transformation eines Polynoms approximieren.

— Hilmar
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Sie können die Definition der Transformation auf einen äquivalenten Ausdruck der Bessel-Funktion oder auf eine Näherung anwenden . $\mathcal Z$

Die äquivalente Funktion kann sein:

\begin{aligned} {J.}_{0} (x) & = \frac{1}{π} \cos (x \cos ϕ) d ϕ \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (1 - - \frac{x^{2} \cos^{2} ϕ}{2!} + \frac{x^{4} \cos^{4} ϕ}{4!} - - \frac{x^{6} \cos^{6} ϕ}{6!} + \dots) d ϕ \end{aligned}

$\begin{align} J_0(x) &= \frac 1\pi\cos\left(x\cos\phi\right)d\phi\\ &=\frac 1\pi\int_0^\pi\left(1-\frac{x^2\cos^2\phi}{2!}+\frac{x^4\cos^4\phi}{4!}-\frac{x^6\cos^6\phi}{6!}+\cdots\right)d\phi \end{align}$

Update :

Weitere Informationen zu äquivalenten Ausdrücken finden Sie hier .

— Luis Andrés García
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1

Bei der Näherung für

fehlt im ersten Schritt das Integralzeichen. Ich kann dich nicht sehen, um die ungefähre Z-Transformation zu erhalten. Ich hatte eine andere Idee mit der Näherung

J_{0} (x)

$J_0(x)$

. Ich habe diesen Ansatz ausprobiert und am Ende eine Z-Transformation mit polyLogarithmischer Funktion erhalten. (Gebrauchte Mathematica).

J_{0} (x) = \sqrt{(} \frac{2}{x π} c o s (x - π / 4)

$J_0(x) = \sqrt(\frac{2}{x \pi} cos(x - \pi/4)$

— Sauravrt

Ich glaube, die Annäherung, von der er spricht, ist eine Annäherung für die modifizierte Bessel-Funktion der ersten Art

(wenn mir das Gedächtnis dient). Das

ist das Argument für die Funktion, nicht

wie bei der

Transformation. Er weist darauf hin, dass Sie anstelle einer direkten Auswertung der

Transformationssumme eine andere Form verwenden könnten, die entweder äquivalent oder ungefähr äquivalent zu der interessierenden Funktion ist, die möglicherweise einfacher zu transformieren ist.

I_{0} (z)

$I_0(z)$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

— Jason R

Ihre Wertschätzung für die Annäherung war wahr. Ich habe meine Antwort bearbeitet.

— Luis Andrés García