Finden der z-Transformation von

Ich versuche also zu entscheiden, ob der Cosinus-Teil für oder ob er ausschließlich Teil von . (Die Nummer a liegt auf der offenen Einheitsplatte) $z$ $h[n]$

Ich war mir ziemlich sicher, dass alles Teil von aber wenn ich dann die Z-Transformation durchführe, bekomme ich diese rationale Funktion $h[n]$

\frac{1 - a \cos (2 π \frac{f_{0}}{F_{s}}) z^{- 1}}{1 - 2 a \cos (2 π \frac{f_{0}}{F_{s}}) z^{- 1} + a^{2} z^{- 2}}

$\frac{1 - a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1}}{1-2a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1} + a^2z^{-2}}$

Die Sache ist dann, dass ich die Pole und Nullen auswerten soll und wenn Sie nur die Kosinus-Teile ignorieren, erhalten Sie diesen wirklich schönen rationalen Ausdruck, der bis auf faktorisiert und vereinfacht . $\displaystyle\frac{z}{z-a}$

Das hat mich zu dem Gedanken gebracht, dass ich die Dinge vielleicht nicht richtig verstehe und der Cosinus-Teil für oder so eingesteckt sein soll. Kann mir das jemand erklären? $z$

z-transform

— Zaubertrank
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\cos (2 π n / F_{0} f_{0})

$\cos(2\pi n/F_0 f_0)$

Ich habe das alles getan, so habe ich den rationalen Ausdruck oben bekommen. Seit ich dies gepostet habe, konnte ich es tatsächlich faktorisieren und die Pole und Nullen erhalten, danke für Ihre Hilfe. Könnten Sie mir tatsächlich einen Solid machen und mir den Matlab-Code mitteilen, der erforderlich ist, um den Frequenzgang dieses Systems mit a = 0,8, F_s = 128 und f_0 = 32 zu zeichnen? Vielen Dank.

— Zaubertrank

| a |

$|a|$

yup dort habe ich sie bekommen.

— Zaubertrank

@Zaubertrank "freqz" funktioniert sehr gut für die Filterleistungsanalyse in Matlab.

— Jim Clay

Antworten:

Das Zeitbereichssignal (oder die Impulsantwort)

h (n) = a^{n} \cos n θ_{0}, θ_{0} = 2 π \frac{f_{0}}{f_{s}}, n \geq 0

$h(n)=a^{n}\cos n\theta_0,\quad \theta_0=2\pi\frac{f_0}{f_s},\; n\ge 0$

$|a|<1$ $H(z)$

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} H (z) & = \frac{1 - a z^{- 1} \cos θ_{0}}{1 - 2 a z^{- 1} \cos θ_{0} + a^{2} z^{- 2}} \\ = \frac{z (z - a \cos θ_{0})}{z^{2} - 2 a z \cos θ_{0} + a^{2}} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}H(z)&=\frac{1-az^{-1}\cos \theta_0}{1-2az^{-1}\cos\theta_0+a^2z^{-2}}\\&= \frac{z(z-a\cos \theta_0)}{z^2-2az\cos\theta_0+a^2}\end{align}\tag{1}$

$H(z)$

z_{0, 0} = 0 z_{0, 1} = a \cos θ_{0}

$z_{0,0}=0\quad z_{0,1}=a\cos\theta_0$

$H(z)$

\begin{matrix} (2) & H (z) = \frac{1}{2} [\frac{1}{1 - a e^{j θ_{0}} z^{- 1}} + \frac{1}{1 - a e^{- j θ_{0}} z^{- 1}}] \end{matrix}

$H(z)=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{1-ae^{j\theta_0}z^{-1}} + \frac{1}{1-ae^{-j\theta_0}z^{-1}} \right ]\tag{2}$

z_{\infty, 0} = a e^{j θ_{0}} z_{\infty, 1} = a e^{- j θ_{0}}

$z_{\infty,0}=ae^{j\theta_0}\quad z_{\infty,1}=ae^{-j\theta_0}$

h (n)

$h(n)$

h (n)

$h(n)$

| a | < 1

$|a|<1$

— Matt L.
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$x(n) = a^ncos(nθ)u(n)...$ Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

— RAM
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Würde es Ihnen etwas ausmachen, es in TeX anstatt in Bild zu setzen?

— Jojek