Differenz zwischen diskreter Zeit-Fourier-Transformation und diskreter Fourier-Transformation

Ich habe viele Artikel über DTFT und DFT gelesen, aber ich kann den Unterschied zwischen den beiden nicht erkennen, bis auf ein paar sichtbare Dinge wie DTFT geht bis ins Unendliche, während DFT nur bis N-1 ist. Kann jemand bitte den Unterschied erklären und wann man was benutzt? Wiki sagt

Die DFT unterscheidet sich von der zeitdiskreten Fourier-Transformation (DTFT) dadurch, dass ihre Eingangs- und Ausgangssequenzen beide endlich sind; Man spricht daher von der Fourier-Analyse von zeitdiskreten Funktionen mit endlichen Domänen (oder periodischen Funktionen).

Ist das der einzige Unterschied?

Edit: Dieser Artikel erklärt schön den Unterschied

Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) ist die (herkömmliche) Fourier-Transformation eines zeitdiskreten Signals. Die Ausgabe erfolgt kontinuierlich in Frequenz und periodisch. Beispiel: Um das Spektrum der abgetasteten Version eines zeitkontinuierlichen Signals x ( t ) zu finden, kann die DTFT verwendet werden.$x(kT)$$x(t)$

Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) kann als abgetastete Version (im Frequenzbereich) des DTFT-Ausgangs angesehen werden. Es wird verwendet, um das Frequenzspektrum eines zeitdiskreten Signals mit einem Computer zu berechnen, da Computer nur eine begrenzte Anzahl von Werten verarbeiten können. Ich würde dagegen argumentieren, dass die DFT-Ausgabe endlich ist. Es ist auch periodisch und kann daher unendlich fortgesetzt werden.

Etwas zusammenfassen:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Eine mathematische Eigenschaft der DFT ist, dass sowohl ihre Eingabe als auch ihre Ausgabe mit der DFT-Länge periodisch sind . Das heißt, obwohl der Eingangsvektor für die DFT in der Praxis endlich ist, ist es nur richtig zu sagen, dass die DFT das abgetastete Spektrum ist, wenn angenommen wird, dass die DFT-Eingabe periodisch ist.$N$

In Ordnung, ich werde das mit einem Argument beantworten, das "Gegner" meiner starren nazi-artigen Position in Bezug auf die DFT haben.

vor allem, meine starre, nazi-ähnlicher Position : die DFT und diskrete Fourier - Serie ist ein-und-die-gleiche. Die DFT ordnet eine unendliche und periodische Sequenz $x[n]$ mit der Periode $N$ in der "Zeit" -Domäne einer anderen unendlichen und periodischen Sequenz $X[k]$ , wiederum mit der Periode $N$ in der "Frequenz" -Domäne. und die iDFT ordnet es zurück. und sie sind "injektiv" oder "invertierbar" oder "eins zu eins".

DFT:

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$$

iDFT:

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$$

das ist im Grunde genommen die DFT. es ist von Natur aus eine periodische oder kreisförmige Sache.

Aber die Periodizitätsleugner sagen dies gern über die DFT. es ist wahr, es ändert einfach nichts an dem oben Gesagten.

Nehmen wir also an, Sie hätten eine Folge endlicher Länge $x[n]$ der Länge $N$ und anstatt sie periodisch zu erweitern (wie es die DFT von Natur aus tut), hängen Sie diese Folge endlicher Länge mit Nullen unendlich links und rechts an. so

$$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

nun, diese sich nicht wiederholende unendliche Folge hat eine DTFT haben:

DTFT:

$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ ist die Z-Transformation von die auf dem Einheitskreis für unendlich viele reelle berechnet wird Werte von . Nun, wenn Sie die DTFT an gleichmäßig verteilten Punkten auf dem Einheitskreis abtasten würden, mit einem Punkt bei würden Sie bekommen x [n]z=ejω$\hat{x}[n]$$z=e^{j\omega}$$\omega$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$$N$$z=e^{j\omega}=1$

$$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$$

Genau so hängen DFT und DTFT zusammen. Durch Abtasten der DTFT in gleichmäßigen Intervallen in der "Frequenz" -Domäne wird in der "Zeit" -Domäne die ursprüngliche Sequenz wiederholt und um alle Vielfachen von verschoben und überlappend addiert. Das ist es, was eine einheitliche Abtastung in einer Domäne in der anderen Domäne bewirkt. Da aber die Hypothese aufgestellt wird, daß außerhalb des Intervalls , das Überlappungsschöpf tut nichts. es erweitert nur periodisch den Nicht-Null-Teil von , unserer ursprünglichen Sequenz endlicher Länge, .$\hat{x}[n]$$N$ x [n]00≤n≤N-1 x [n]x[n]$\hat{x}[n]$$0$$0 \le n \le N-1$$\hat{x}[n]$$x[n]$

Da die DTFT-Ausgabe kontinuierlich ist, kann sie nicht mit Computern verarbeitet werden. Wir müssen dieses kontinuierliche Signal also in diskrete Form umwandeln. Es ist nichts anderes als DFT als eine weitere Weiterentwicklung von FFT, um Berechnungen zu reduzieren.

Wenn ich richtig liege, wird die DFT-Eingabe, auch wenn die Anzahl der Abtastungen endlich ist, von der Mathematik dahinter als unendliche Folge behandelt, die die NAbtastungen nach ihrer Beendigung periodisch beginnt . Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$$ $$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$$