Fourierreihen-Darstellung

Wenn wir konzeptionell eine peroidale Reihe, beispielsweise eine Impulsfolge, darstellen möchten, finden wir die Fourier-Koeffizienten und erhalten eine Darstellung im Zeitbereich.

Was ist jedoch konzeptionell falsch daran, beispielsweise eine unendliche Summe zeitversetzter Rechteckfunktionen zu verwenden, um sie darzustellen?

Entschuldigung, ich hatte ein Formatierungsproblem, also setze ich dies in den unteren Beitrag ...

Meine Methode ist als solche:

Angenommen, wir haben einen periodischen Impuls so dass für und für ; somit hat eine Periode von . $x(t)$ $x(t) = 1$ $0 < t< T$ $0$ $T < t < T_p$ $x(t)$ $T_p$

Finden der Fourier-Koeffizienten Ck über:

C k = \frac{1}{T_{p}} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) * e^{\frac{- j 2 π k t}{T_{p}}}

$Ck = \frac{1}{T_p} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) * e^\tfrac{-j2\pi kt}{T_p}$

über 1 Periode, und somit können wir x (t) darstellen als:

x (t) = \sum_{k} C_{k} e^{\frac{j 2 π k t}{T_{p}}}

$x(t) = \sum_k C_k e^\tfrac{j2\pi kt}{T_p}$

und wenn wir die Fourier-Transformation durchführen, erhalten wir diese Form:

X (f) = \sum_{k} C_{k} δ (f - k f_{p})

$X(f) = \sum_k C_k \delta(f-kf_p)$

das ist diskret.

Wenn wir jedoch als von dieser Form betrachten: $x(t)$

x (t) = \sum_{n} rect (\frac{t - n T_{p}}{T})

$x(t) = \sum_n \text{rect} \left(\frac{t-nT_p}{T} \right)$

Anwenden der Fourier-Transformation von , um (in der Form) zu erhalten: $x(t)$

X (f) = \sum sinc * e^{- j * W}

$X(f) = \sum \text{sinc} * e^{-j*W}$ - (2)

wobei sinc () auf die FT von rect zurückzuführen ist und das e ^ (- j * W) aufgrund der zeitverschiebenden Eigenschaft von FT herauskommt.

Wenn wir X (f) in (1) und (2) vergleichen, sehen wir, dass 1 diskret und das andere stetig ist.

Sie stammen jedoch aus demselben x (t). Ist dies also kein Widerspruch?

Entschuldigung für den langen Beitrag.

homework

— John Tan
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Es ist nichts Falsches daran, zeitversetzte Rechteckfunktionen zu verwenden, und diese Funktionen sind tatsächlich orthogonal. Tatsächlich ersetzt die zeitdiskrete Signalverarbeitung ein Tiefpasssignal durch eine Folge von Zahlen, die die Amplituden dieser zeitversetzten Rechteckfunktionen sind, und dies umso mehr, wenn Sie an Sample-and-Hold- Schaltungen denken , die diese effektiv ersetzen eine zeitkontinuierliche Wellenform mit einer Reihe von zeitversetzten Rekten mit unterschiedlichen Amplituden und einer einfachen (aber unvollständigen) Form der D / A-Umwandlung am anderen Ende.

— Dilip Sarwate

@Johntan Die Z-Transformation ist im Wesentlichen nur die Summe der zeitversetzten Rechteckfunktionen.

— Jim Clay

Sie können eine Rechteckwelle erzeugen, indem Sie eine unendliche Anzahl von Sinuswellen summieren, und Sie können eine Sinuswelle erzeugen, indem Sie eine unendliche Anzahl von Rechteckwellen summieren.

— Endolith

Siehe auch

— Endolith

Mit der orthogonalen Haar-Wavelet-Transformation können Sie ein Signal in verschiedenen Maßstäben in Rechteckwellen zerlegen.

— Spacey

Antworten:

Was ist jedoch konzeptionell falsch daran, beispielsweise eine unendliche Summe zeitversetzter Rechteckfunktionen zu verwenden, um sie darzustellen?

Es ist konzeptionell nichts falsch daran. Fourier-Transformationen zerlegen ein Signal in eine Summe komplexer Sinuskurven, aber Sie können ein Signal auch in viele andere Dinge zerlegen, was in bestimmten Anwendungen möglicherweise nützlicher ist. Die Haar-Wavelet-Transformation zerlegt beispielsweise ein Signal in eine Summe von Rechteckimpulsen:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein Quelle

Wir verwenden Sinuskurven in vielen Anwendungen, da dies in diesen Anwendungen am sinnvollsten ist. Warum zerlegen wir beispielsweise Audiosignale fast immer in Sinuskurven? Weil unsere Cochleas dasselbe tun:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

— Endolith
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Sehr schönes Diagramm des Innenohrs - über diese Bilder rechts - zeigen sie, wo bestimmte Wellenlängen schwingen?

— Spacey

@Mohammad: Ich bin mir nicht sicher, was die rechte Seite zeigen soll. Nur dass tiefe Frequenzen von Haarzellen tief in der Cochlea erfasst werden?

— Endolith

Der Hauptgrund dafür ist, dass Reihen von Cosinus und Sinus eine orthogonale Basis bilden. Dann können Sie es verwenden, um es in einem anderen "Raum" darzustellen (z. B. Frequenz "Raum").

Andere Dinge, nur um andere Dinge zu verstehen, die mit Fourier-Reihen und Tranform zusammenhängen:

Ein Sinus oder Cosinus ist nur 2 Delta-Funktionen in der Frequenzdarstellung (Fourier-Transformation). Eine Rect-Funktion mit einer Sync-Funktionsdarstellung (die alle Sprectra genau ausfüllt).

Mithilfe der Fourier-Darstellung in der Frequenz können Sie dann die Frequenzkomponenten Ihres Signals leicht interpretieren und entsprechend filtern.

Eine andere Sache, um die Verwendung von Fourier-Koeffizienten besser zu verstehen, besteht darin, die Beziehung zwischen der Fourier-Transformation und diesen Koeffizienten zu verstehen ( Erklärung1 , Erklärung2 ).

Wir verwenden Fourier-Reihen für periodische Funktionen und Fourier-Transformationen für alles.

— Luis Andrés García
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Ich danke Ihnen für Ihre Erklärung. Wenn wir also das Frequenzspektrum unter Verwendung der 2 ähnlichen Darstellungen betrachten, erhalten wir ein diskretes Frequenzspektrum (wenn wir die Delta-Funktionen berücksichtigen) und andererseits ein kontinuierliches Spektrum (wenn wir die sinc-Funktion berücksichtigen). Ist es nicht widersprüchlich?

— John Tan

Bis Sie Fourier-Koeffizienten usw. recht gut verstehen, würde ich nicht kontinuierlich (Fourier Trans.) Und diskret (DFT) mischen. Könnten Sie die Schritte schreiben, die Sie machen?

— Luis Andrés García

Wir können Fourier-Reihen verwenden, um aperiodische Funktionen lokal zu approximieren, indem wir eine periodische Erweiterung erstellen.

— Emre

Es tut mir leid, dass ich ein Formatierungsproblem hatte, daher schreibe ich dies in den unteren Beitrag.

Meine Methode ist als solche:

Angenommen, wir haben einen periodischen Puls $x(t)$ so dass $x(t) = 1$ für und für ; somit hat eine Periode von . $0 < t< T$ $0$ $T < t < Tp$ $x(t)$ $Tp$

Finden der Fourier-Koeffizienten über: $Ck$

C k = 1 / T p \int^{T} (x (t) * e^{(- j * 2 * p i * k * t / T p)})

$Ck = 1/Tp \int^T ( x(t) * e^{(-j*2*pi*k*t/Tp)})$

und somit können wir als: $x(t)$

x (t) = \sum (C k * e^{(j * 2 * p i * k * t / T p)})

$x(t) = \sum (Ck * e^{(j*2*pi*k*t/Tp)})$ über alle int k

und wenn wir die Fourier-Transformation durchführen, erhalten wir diese Form:

X (f) = \sum (C k * δ (f - k f p))

$X(f) = \sum (Ck * \delta(f-kfp))$ über alle int k - (1)

das ist diskret.

Wenn wir jedoch x (t) als von dieser Form betrachten:

x (t) = \sum (r e c t [(t - n T p) / T])

$x(t) = \sum(rect[(t-nTp)/T])$

Anwenden der Fourier-Transformation von x (t), um (in der Form) zu erhalten:

X (f) = \sum [s i n c * e^{(} - j * W)]

$X(f) = \sum[ sinc * e^(-j*W) ]$ - (2)

wobei sinc () auf die FT von rect zurückzuführen ist und das aufgrund der zeitverschiebenden Eigenschaft von FT herauskommt. $e^{(-j*W)}$

Wenn wir in (1) und (2) vergleichen, sehen wir, dass 1 diskret und das andere stetig ist. $X(f)$

Sie stammen jedoch aus demselben . Ist dies also kein Widerspruch? $x(t)$

Entschuldigung für den langen Beitrag.

— John Tan
quelle

Ihre

X (f)

$X(f)$ ist falsch; Ihnen fehlen Faktoren von

T_{p}

$T_p$ im Argument der Exponentiale sowie in dem, was Sie einfach als schreiben

sinc

$\text{sinc}$ . Wenn Sie es richtig machen, erhalten Sie eine Summe von unendlich vielen Exponentialfunktionen, die Ihnen Impulse unterschiedlicher Größe geben. Es gibt keine Fourier-Transformation von periodischen Funktionen, es sei denn, Sie lassen verallgemeinerte Funktionen oder Verteilungen zu, wie Mathematiker sie nennen, oder Impulse oder "Delta-Funktionen", wie Ingenieure gerne sagen. Sie nutzen

F (sum) = sum F

$\mathcal F(\text{sum}) = \text{sum}\ \mathcal F$ Das muss begründet werden, wenn die Summe unendlich ist.

— Dilip Sarwate