Wann können wir das Heisenbergsche Ungewissheitsprinzip als Gleichheit schreiben?

Wir wissen , dass Heisenbergsche Unschärferelation , die besagt ,

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

Aber (in vielen Fällen für Morlet Wavelet) habe ich gesehen, dass sie die Ungleichung in eine Gleichheit geändert haben. Nun meine Frage ist , wenn wir die Ungleichheit zu ändern , um eine Gleichheit erlaubt:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Elektriker
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es scheint sehr interessant

— dato datuashvili

da ich weiß, dass es gleich ist, wenn die Gaußsche Verteilung die optimale Form hat, lesen Sie bitte dieses Buch. Das Handbuch zur illustrierten Wavelet-Transformation: Einführungstheorie und Anwendungen in Wissenschaft, Technik, Medizin und Finanzen

— dato datuashvili 13.04.14

Der Link ist defekt, Kumpel. Würden Sie entweder das Buch per E-Mail senden oder einen anderen Link senden? Meine E-Mail: <electricaltranslation@gmail.com> Danke @datodatuashvili

— Electricman

Antworten:

Es ist wichtig, die Zeit- und Frequenzbreiten und eines Signals zu definieren, bevor spezielle Formen des Unsicherheitsprinzips erörtert werden. Es gibt keine eindeutige Definition dieser Größen. Mit entsprechenden Definitionen kann gezeigt werden, dass nur das Gaußsche Signal das Unsicherheitsprinzip mit Gleichheit erfüllt. $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

Man betrachte ein Signal mit einer erfüllenden Fouriertransformation $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

Keine dieser Bedingungen ist tatsächlich eine Einschränkung. Sie können alle (für Signale mit endlicher Energie) durch geeignete Skalierung, Übersetzung und Modulation erfüllt werden.

Definieren wir nun Zeit- und Frequenzbreiten wie folgt

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

dann besagt das Unsicherheitsprinzip, dass

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

(wenn schneller als verschwindet $f(t)$ $1/\sqrt{t}$ für ) $t\rightarrow\pm\infty$

wobei die Ungleichung mit der Gleichheit für das Gaußsche Signal zufrieden ist

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

Die obigen Gleichungsnummern entsprechen dem nachstehenden Beweis aus Wavelets and Subband Coding von Vetterli und Kovacevic (S. 80):

Bildbeschreibung hier eingeben

— Matt L.
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Danke für die Mathematik, ich werde versuchen, es zu verstehen. @ matt-l

— Elektriker

@Matt L .: Warum definieren Sie die Zeit- und Frequenzbreiten mit einem quadratischen Gewichtsfaktor? Ich habe in der Schule gesehen, dass die Abweichungen gleich sind. Verteilungsabweichungen sind mit einem linearen Gewichtsfaktor? Was ist das? Bedeutet dies also, dass dieses Unsicherheitsprinzip nicht über die Varianzen einer Funktion und die Varianz ihres Spektrums spricht, sondern über etwas anderes?

— Martijn Courteaux

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

— Martijn Courteaux

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

Ich kann Ihnen nicht die ganze Theorie dazu geben (da sie buchstäblich Bücher füllt), aber es stellt sich heraus, dass Heisenberg eine exakte Gleichheit für genau diese Signalfamilie darstellt:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + ich (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

wobei alle Parameter reelle Zahlen sind. Diese Familie wird durch quadratische Symplektomorphismen in Zeit-Frequenz aus einem einzelnen Gabor-Atom erzeugt. Diese Symplektomorphismen erhalten die Heisenbergsche Unschärferelation.

$\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

Der Begriff des Zeitfrequenzbereichs kann jedoch verallgemeinert werden, um den Bereich von Formen zu messen, die nicht mit der Zeit- und Frequenzachse ausgerichtet sind. Das bedeutet, dass wir anstelle des Unsicherheitsprodukts zwischen F und T das minimale Unsicherheitsprodukt von zwei von F und T aufgespannten konjugierten Variablen messen. Ich erspare Ihnen die Details, aber für diese Definition des Zeit-Frequenz-Bereichs gibt die Signalfamilie Sie das Minimum.

— Jazzmaniac
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Ist es nicht der Gabuor Fijlter Fuonctiuons? "

— Jean-Yves

Ein Grund, warum es "Bücher füllt", ist, dass die vielen Bedingungen, die für die Gleichheit erforderlich sind, genau definiert und begrenzt sind (oftmals über jeden Nutzen in einem anderen Kontext, wie der realen Welt, hinaus).

— Hotpaw2

Der ursprüngliche Kontext des Heisenbergschen Unsicherheitsprinzips war die Physik, insbesondere die Quantenmechanik, bei der die fraglichen konjugierten Variablen Position und Impuls sind. Es ist nicht auf die Zeit- / Frequenzanalyse beschränkt.

— user2718

@BZ, du predigst hier zum Chor. Ich bin ein mathematischer Quantenphysiker. Allerdings sehe ich den Sinn Ihres Kommentars hier oder das in Ihrer eigenen Antwort nicht ganz.

— Jazzmaniac

Das Ungewissheitsprinzip legt eine theoretische Grenze für die Auflösung fest, so dass es niemals als Gleichheit geschrieben wird.

Die Gleichstellungsbeziehungen, auf die Sie stoßen, gelten für einen bestimmten Analysekontext und eine bestimmte Analyseimplementierung. In diesem Fall ist der Kontext die Signalanalyse, so dass Zeit / Frequenz die interessierenden konjugierten Variablen sind und die Implementierung das verwendete spezifische Wavelet ist.

Die Gleichheitsbeziehung bietet eine Möglichkeit zum Vergleichen von Auflösungen zwischen verschiedenen Analyseimplementierungen. Bei der Interpretation dieser Beziehungen ist Vorsicht geboten, da die Definition der Auflösung nicht sollte, aber variieren kann.

Eine Gleichheitsbeziehung ist angemessen, wenn Sie zwei Dinge definiert haben: 1) die mathematische Bedeutung der Auflösung. 2) die Analysemethode (in diesem Fall die Wahl des Wavelets).

— user2718
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Wenn Sie tiefer graben, wird das Prinzip von Heisenberg viel mehr als eine Aussage über die Auflösung. Es ist eng mit der Zeitfrequenzgeometrie in einer mathematischen Struktur verbunden, die als symplektische nichtkommutative Geometrie bezeichnet wird. Es liefert ein informationstheoretisches Maß für Zeit-Frequenz-Informationen und wird genau integriert quantisiert. Sie können es sogar zur Verallgemeinerung des Shannon-Theorems für die Rekonstruktion beliebiger TF-Regionen verwenden.

— Jazzmaniac

In der Quantenmechanik ist das Ungewissheitsprinzip eine Vielzahl von mathematischen Ungleichungen, die eine grundlegende Grenze für die Genauigkeit festlegen, mit der bestimmte Paare physikalischer Eigenschaften eines Teilchens, die als komplementäre Variablen bekannt sind, wie Position x und Impuls p, gleichzeitig bekannt sein können. So stellte Werner Heisenberg 1927 fest, je genauer die Position eines Teilchens bestimmt wird, desto ungenauer kann sein Impuls ermittelt werden und umgekehrt. [Wikipedia - aber ich habe dies in Physik gelernt und es in Analyseklassen erneut besucht]

— user2718