Existiert die inverse CTFT für ein Dirac-Delta?

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Existiert die inverse kontinuierliche Zeit-Fourier-Transformation für ein Dirac-Delta (eine einzelne kausale / nicht-kausale Spitze)?

continuous-signals

— Mikhail
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Lesen Sie die Antworten auf eine verwandte aktuelle Frage zu math.SE, in der Sie auch erfahren, wie Sie Tabellen gemeinsamer Fourier-Transformationspaare in Bezug auf die Radianfrequenzvariable

Radiant / Sekunde verwenden, um Fourier-Transformationspaare in Bezug auf die Frequenzvariable

in Hertz zu erhalten . Für den speziellen Fall von Impulsen in Zeit oder Frequenz ist der Schlüssel die Siebeigenschaft :

ω

$\omega$

f

$f$

\int_{- - \infty}^{\infty} x (y) δ (y - - ein) d y = x (ein) wenn x (y) ist kontinuierlich bei ein .

$\int_{-\infty}^{\infty} x(y) \delta(y-a)\mathrm dy = x(a) ~ \text{if}~x(y)~\text{is continuous at}~a.$

— Dilip Sarwate

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$e^{2 \pi i f_0 t}$ $f_0$ $\delta(f - f_0)$ $\delta$

— Pichenettes
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Dies ist eine sehr wichtige Transformation, die häufig in einer Tabelle gängiger Fourier-Transformationen wie dieser zu finden ist .

— Jason R

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Als Randnotiz: Vorwärts- und Rückwärts-Fourier-Transformation sind meistens dasselbe. Zum Beispiel entspricht ein Rechteck in einer Domäne einer Sünde (x) / x in der anderen Domäne (unabhängig davon, ob es zeitlich oder häufig beginnt). Gleiches gilt für ein Delta: Der Impuls in einer Domäne entspricht einem komplexen Exponential in der anderen.

Sie können eine inverse FFT (basierend auf einer Vorwärts-FFT) wie folgt implementieren:

nimm das Konjugat
vorwärts FFT
nimm das Konjugat wieder
durch die Länge der Sequenz teilen

In Matlab würde das so aussehen

n = 1024;
x0 = randn(n,1) + j*rand(n,1); % random sequence
fx = fft(x0);  % take the FFT
x1 = conj(fft(conj(fx)))/n; % inverse fft based on fw fft
% print an error metric how close we got to the orginal signal
fprintf('Error = %6.2f dB\n', 10*log10(sum( (x1-x0).* conj(x1-x0))./sum(x0.*conj(x0))));

— Hilmar
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N

$N$

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Das stimmt. Die Skalierung von Matlab ist wahrscheinlich die häufigste (und wird in den meisten Lehrbüchern verwendet). 1 / sqrt (N) für vorwärts und rückwärts wäre besser, wenn sichergestellt würde, dass die sauberste Version des Parsevalschen Theorems, dh Energie im Zeitbereich gleich Energie im Frequenzbereich ist.

— Hilmar