Eigenwerte und Eigenvektoren des Signals

Was bedeuten die Eigenwerte und der Eigenvektor eines Signals oder einer Funktion? Was ist ihre physikalische Bedeutung? Ich kenne Basisvektoren eines Signals, die die orthogonalen Ebenen bilden, in denen Signalprojektionen dargestellt werden. Sind Basisvektoren und Eigenvektoren dasselbe? Können wir das Signal mit diesen Eigenvektoren rekonstruieren?

— Amit_DSP
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Fragen Sie nach Eigenwerten / Eigenvektoren einer <s> Signalmatrix </ s> oder einer <s> Funktion </ s> Kernelfunktion?

— Atul Ingle

Eigenwerte und Eigenvektoren sind Eigenschaften von Systemen oder Transformationen wie lineare Abbildungsmatrizen. Signale haben keine Eigenwerte oder Eigenvektoren. Funktionen, die als Signale betrachtet werden, besitzen sie ebenfalls nicht, jedoch können Funktionen, die als Abbildungen (daher als Transformationen irgendeiner Art) betrachtet werden, Eigenwerte und Eigenvektoren besitzen

— Fat32

Stellen Sie sich ein lineares zeitinvariantes System vor, das ein bestimmtes Signal einem anderen Signalraum zuordnet. Wenn das System eine skalierte Version des Eingangssignals , beispielsweise , können wir und als Eigenwert bzw. Eigenvektor betrachten ( gibt uns die Verstärkung oder Dämpfung des Eigensignals). $\phi$ $\lambda \phi$ $\lambda$ $\phi$ $λ$

Angenommen, die Impulsantwort des Systems ist . Wenn Sie als Eigensignal eingeben, haben Sie den Ausgang $h[n]$ $x[n]$

y [n] = x [n] \sum_{k = - \infty}^{\infty} h [k] e^{- j \cdot ω \cdot k}

$y[n] = x[n]\sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} h[k]e^{-j \cdot \omega \cdot k}$

also

λ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} h [k] e^{- j \cdot ω \cdot k}

$\lambda = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} h[k]e^{-j \cdot \omega \cdot k}$

Beachten Sie, dass dies nur die diskrete Zeit-Fourier-Transformation von da . Ferner wird auch die Fourier-Transformation von bedeutungsvoll. $h[n]$ $H(e^{j \omega}) = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} h[k]e^{-j \cdot \omega \cdot k}$ $x[n]$

Beachten Sie, dass Eigenvektoren nicht immer eine Basis bilden. Zum Beispiel hat als einzigen Eigenwert, mit Eigenraum . Es gibt nicht genügend unabhängige Eigenvektoren, um eine Basis zu bilden. $\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 &0\end{pmatrix}$ $0$ $\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$

Weitere Diskussionen zur physikalischen Bedeutung von Eigenwerten oder Eigenvektoren für ein Signal finden Sie in diesem Beitrag von researchgate . Und ja, Sie können das ursprüngliche Signal mit allen Eigenvektoren rekonstruieren oder das Signal mit einigen von ihnen approximieren

— lennon310
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kein Problem. Meinen Sie auch "lineares zeitinvariantes System" anstelle von "linear transformiertes invariantes System"?

— Atul Ingle

@ AtulIngle ja, und korrigiert .. thx

— lennon310

@ lennon310 danke für deine Antwort, aber ich habe buchstäblich nicht verstanden, was du durch die obigen Gleichungen sagen willst. Kannst du es bitte näher erläutern? Ich möchte nur die Beziehung zwischen Signal- und Eigenwerten und Eigenvektoren kennen.

— Amit_DSP

@ lennon310; a +1 für Q und A. Hast du wie lange ich diese Frage im Kopf hatte? Vielen Dank.

— MimSaad

@Amit_DSP Dieses Ergebnis bedeutet, dass, wenn ein Eingangssignal für ein lineares zeitinvariantes System ein Eigenvektor ist, der Ausgang das gleiche Signal ist, das in seiner Größe skaliert und gemäß der DTFT des Systems phasenverschoben ist case .

λ

$\lambda$

— Envidia