Kann es einen Kausalfilter ohne Phasenverschiebung geben?

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Als ich die Dispersion des Brechungsindex in Halbleitern und Dielektrika untersuchte, versuchte mein Professor zu erklären, dass wenn ein Filter (wie ein Dielektrikum, das einige Lichtfrequenzen absorbiert, oder ein elektrisches RC-Filter) einige Frequenzen entfernt, die verbleibenden phasenverschoben werden müssen um zu kompensieren, dass jene Frequenzen (die wie übliche monochromatische Signale zeitlich unendlich verteilt sind) vom gesamten Signal subtrahiert werden, um die Kausalität zu bewahren.

Ich verstehe intuitiv, wovon er sprach, aber ich bin mir nicht sicher, ob sein Argument wirklich gerechtfertigt ist - dh ob es einen nicht trivialen Filter geben kann, der einige Frequenzen absorbiert und die verbleibenden nicht verschoben, aber immer noch erhalten lässt Kausalität. Ich kann scheinbar keinen konstruieren, kann aber nicht beweisen, dass er auch nicht existiert.

Die Frage ist also: Wie kann bewiesen werden (dis) , dass ein kausaler Filter muss Phasen der Frequenzen relativ zueinander verschieben?

filters phase

— Ruslan
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Angenommen, ein lineares Filter hat die Impulsantwort und die Frequenzantwort / Übertragungsfunktion , wobei die Eigenschaft hat, dass (Konjugationsbeschränkung). $h(t)$ $H(f) = \mathcal F [h(t)]$ $H(f)$ $H(-f) = H^*(f)$

Die Antwort dieses Filters auf die komplexe Exponentialeingabe ist nun und wenn wir wollen, dass dieser Filter keine Phasenverschiebung verursacht, muss es sein, dass für alle . $x(t) = e^{j2\pi f t}$

y (t) = H (f) e^{j 2 π f t} = | H (f) | e^{j (2 π f t + ∠ H (f))}

$y(t) = H(f)e^{j2\pi f t} = |H(f)|e^{j(2\pi f t + \angle H(f))}$

∠ H (f) = 0

$\angle H(f) = 0$

f

$f$

Wie wäre es, wenn wir anstelle einer Phasenverschiebung bereit sind, eine feste konstante Phasenverschiebung für alle Frequenzen zuzulassen? Das heißt, für alle ist für uns akzeptabel, wobei nicht ? Der zusätzliche Breitengrad hilft nicht sehr viel, da und somit keinen festen konstanten Wert für alle sei denn, dieser Wert ist . $\angle H(f) = \theta$ $f$ $\theta$ $0$ $\angle H(-f) = -\angle H(f)$ $\angle H(f)$ $f$ $0$

Wir schließen daraus, dass, wenn ein Filter die Phase überhaupt nicht ändert, eine reelle Funktion ist und aufgrund der Konjugationsbeschränkung auch eine gerade Funktion von . Aber dann ist seine Fourier-Transformation eine gerade Funktion der Zeit, und daher kann der Filter nicht kausal sein (außer in trivialen Fällen): Wenn seine Impulsantwort für ein bestimmtes ungleich Null ist, dann ist er auch ungleich Null für (wobei ). $H(f)$ $f$ $h(t)$ $t > 0$ $-t$ $-t < 0$

Beachten Sie, dass das Filter keine Frequenzunterdrückung durchführen muss, das heißt, wir mussten nicht davon ausgehen, dass einige Frequenzen vom Filter "entfernt" werden (wie es der Filter des OP-Professors tut), um die Behauptung zu beweisen, dass eine Nullphasenverschiebung nicht möglich ist mit einem Kausalfilter, Frequenzunterdrücker oder nicht.

— Dilip Sarwate
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Nun, ich würde sagen, ein Filter mit ist kausal, obwohl es ein No-Op-Filter ist (weder Frequenzunterdrücker noch Phasenschieber). In anderen Fällen ist Ihre Antwort großartig, danke.

h (t) = δ (t)

$h(t)=\delta(t)$

— Ruslan

Gute Antwort, aber wenn ich mich nicht irre, basiert die Annahme, dass der Frequenzgang konjugiert symmetrisch ist, auf einer realwertigen Impulsantwort. Warum ist das eine faire Annahme? Wir können eine Übertragungsfunktion mit komplexen Koeffizienten haben, die als die Kombination von 2 realwertigen, physikalisch realisierbaren LTI-Systemen verstanden werden kann. Dies würde bedeuten, dass der Frequenzgang nicht konjugiert symmetrisch sein muss, wodurch die Analyse unvollständig wird.

— Ijuneja

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Es gibt Filter, die eine lineare Phasenverschiebung verursachen, dh eine konstante Verzögerung. Es ist überhaupt nicht möglich, etwas (kausal) ohne Verzögerung zu filtern.

— user7358
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Guter Punkt. So können relative Zeiten erhalten bleiben. Was ist mit Phasenverschiebungen selbst - können sie für alle Frequenzen gleich sein?

— Ruslan

Ja. Das nennt man normalerweise ,, lineare Phase ''. Sie können zeigen, dass die Impulsantwort eines solchen Filters symmetrisch oder antisymmetrisch sein muss.

— user7358

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Die Phasenverschiebung ist auf die Zeitverzögerung zurückzuführen, dh auf die Zeit, die das Signal benötigt, um vom Eingang zum Ausgang eines Systems zu gelangen. Wenn das System keine Phasenverschiebung verursacht, bedeutet dies, dass die Zeitverzögerung Null ist. Stellen Sie sich nun ein System vor, das die Ausgabe zum gleichen Zeitpunkt bereitstellt, zu dem die Eingabe angewendet wird. Wird das möglich sein? Natürlich nicht .wenn es ein System gibt, muss es eine Art Job für das Signal ausführen, das eine Verzögerung und schließlich eine Phasenverschiebung erzeugt

— Amit_DSP
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Was mir zum Zeitpunkt des Schreibens der Frage anscheinend nicht klar war, ist, dass ich an relative Phasenverschiebungen dachte, nicht an deren globale Verschiebung in Bezug auf das ursprüngliche Signal. Natürlich muss das, was Sie sagen, offensichtlich gewesen sein, obwohl es nicht so war.

— Ruslan

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Sie können einen Filter ohne Phasenverschiebung haben. Es heißt Beobachter (Prädiktor). Es ist jedoch nicht mehr nur ein Filter, sondern ein mathematisches Modell dafür, wie sich mehrere Sensorwerte zueinander verhalten. So können Sie das Signal vorhersagen und haben somit die bestmögliche Vorhersage des realen Signals im selben Moment, in dem Sie Ihre Messungen durchführen (keine Phasenverschiebung).

— Martin
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Ein solcher "Filter" ist nicht kausal.

— Ruslan

Natürlich ist es kausal. Die Definition von kausal ist, dass seine Ausgabe nur von vergangenen und gegenwärtigen Eingaben abhängt. "Das Wort kausal zeigt an, dass die Filterausgabe nur von früheren und gegenwärtigen Eingaben abhängt."

— Martin