Zeitdiskrete Fourier-Transformation

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Ich bin ein Realschüler, der eine allgemeine Faszination für Elektronik, Programmierung und dergleichen hat. Vor kurzem habe ich etwas über Signalverarbeitung gelernt.

Leider habe ich noch nicht viel kalkuliert (verzeih mir), deshalb bin ich ein bisschen verschwommen.

Wenn Sie die DTFT eines Signals berechnen würden, was wäre der Unterschied zwischen einer oder Darstellung dieses Signals? $\sin$ $\cos$
Mit der DTFT verstehe ich, dass das von Ihnen eingegebene Signal zeitlich diskret ist, aber wie in aller Welt können Sie ein kontinuierliches Signal im Frequenzbereich erzielen?
Dies führt zu meiner zweiten Frage: Wie ist die DTFT nützlich? Wo wurde es bei den meisten Anwendungen verwendet und warum?

Ich würde mich über jede Hilfe freuen.

fourier-transform

— ElectroNerd
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Bei meiner ersten Frage würde ich vermuten, dass sie nur um 90 ° phasenverschoben ist. Ich habe jedoch einige Grafiken erstellt, die auf etwas anderes hinweisen: i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/… i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/…

— ElectroNerd

Hervorragende Fragen. Ich habe eine Antwort (en) auf diese Fragen erstellt, insbesondere, weil sie sich darauf beziehen, wie DSP in den Köpfen junger Menschen ankommt. (Dies gilt vor allem für die Universität). Schicken Sie mir eine E-Mail und ich kann Ihnen einen Teil des Materials zeigen (zu kompliziert, um hier zu posten).

— Spacey

@Mohammad: Hallo, kannst du mir diese Materialien unter abidrahman2@gmail.com mitteilen?

— Abid Rahman K

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Es ist großartig, dass Sie sich in diesem frühen Stadium Ihres Bildungsweges für die Signalverarbeitung interessieren.

Der beste Weg, um dorthin zu gelangen, besteht darin, einige Einführungsbücher zu diesem Thema zu lesen. Es gibt viele gute und kostenlose Online-Ressourcen, die Ihnen den Einstieg erleichtern. [Hinweis an den geschätzten Herausgeber: Gute Einführungsbücher können ein wirklich gutes Thema für einen "Klebrigen" sein]. Ich benutze manchmal

Eines der wichtigsten mathematischen Konzepte, das Sie benötigen, um Ihre Arme um sich zu legen, sind „komplexe“ Zahlen. Es ist eindeutig eine Fehlbezeichnung, da es wirklich nicht so kompliziert ist und fast jede technische Mathematik viel einfacher macht. Eine weitere großartige kostenlose Ressource für alle mathematischen Themen ist http://www.khanacademy.org und in diesem Fall http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

Zurück zu Ihrer ersten Frage: Es gibt tatsächlich vier verschiedene Varianten der Fourier-Transformation: Fourier-Serie (die wahrscheinlich in der High School auftaucht), Fourier-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und Diskrete Fourier-Serie. Alle von ihnen verwenden eine Kombination von Sinus und Cosinus (oder ein komplexes Exponential, das im Wesentlichen dasselbe ist). Sie werden beides brauchen.

Angenommen, Sie berechnen die Sinus- und Cosinus-Fourier-Koeffizienten einer Eingangssinuswelle. (Unter bestimmten Umständen) werden Sie feststellen, dass alle Fourier-Koeffizienten bis auf einen Cosinus- und einen Sinus-Koeffizienten Null sind. Abhängig von der Phase der Eingangssinuswelle bewegen sich diese beiden Zahlen jedoch. Sie können [0.707 0.707] oder [1 0] oder [0 -1] oder [-0.866 0.5] usw. erhalten. Sie werden sehen, dass die Summe der Quadrate dieser beiden Zahlen immer 1 ist, aber die tatsächliche Die Werte hängen von der Phase der Eingangssinuswelle ab.

Wenn Sie tief tauchen möchten, versuchen Sie Folgendes: http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— Hilmar
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Hallo Hilmar, danke für die Antwort! Ich habe ziemlich viel mit komplexen Zahlen gemacht und muss zustimmen: Sie sind relativ einfach. Das ist gut zu hören. Nachdem ich ein wenig mehr herumgespielt hatte, berechnete ich die Größe eines Sin- und Cos-Eingangssignals für die DTFT und stellte fest, dass die Amplitude für Sin und Cos gleich war. Vielen Dank vor allem für die Nachschlagewerke, ich werde jetzt eine Weile beschäftigt sein.

— ElectroNerd

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Vielleicht möchten Sie sich die verfügbaren Materialien ansehen

Das INFINITY-Projekt: Erweiterung der signalverarbeitungsbasierten Ingenieurausbildung auf das Klassenzimmer der High School

hier erhältlich

— Dilip Sarwate
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Das sieht sehr interessant aus; Ich kann versuchen, es meiner Schule zu empfehlen.

— ElectroNerd

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DTFT Discrete Time Fourier Transform nimmt ein diskretes unendliches Signal als Eingang und sein Ausgang im Frequenzbereich ist stetig und hat eine Periode 2 * pi. Nach meiner Erfahrung wird DFT (Diskrete Fouriertransformation) für praktische Zwecke verwendet. Unter bestimmten Bedingungen ist es einfach zu zeigen, dass die DFT eines endlichen nichtperiodischen Signals nichts anderes als gleich beabstandete Abtastwerte der DTFT ist. Wenn wir die Sequenz in der Zeit- (oder Raum-) Domäne auf Null setzen, erhalten wir im Allgemeinen immer mehr Abtastwerte der DTFT.

Unterm Strich ist DFT sehr nützlich und DFT kann als gleichmässig verteilte Abtastwerte von DTFT angesehen werden, um mehr Abtastwerte von DTFT zu erhalten, hilft ein Null-Pad des Signals.

— pv.
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Das macht Sinn: Mir wurde gesagt, je länger Sie im Zeitbereich abtasten, desto feiner wird die Auflösung im Frequenzbereich sein, sobald Sie die DTFT berechnen. Ich habe dies mit Python und Matplotlib ( Sinus + Null-Auffüllung , DTFT von Null-Auffüllung, das ist ein ordentlicher Trick zu tun.

— ElectroNerd

Ich muss sagen, dass Sie hier vorsichtig sein müssen. Ein großes Missverständnis ist, dass das Auffüllen Ihres Signals mit Nullen die Frequenzauflösung erhöht - dies ist nicht der Fall. Die einzige Möglichkeit, Ihre Frequenzauflösung wirklich zu erhöhen, besteht darin, mehr Daten zu haben - mehr Zeitbereichsabtastungen. Nun, das heißt, das Auffüllen mit Nullen ist hilfreich, wenn Sie Ihr Frequenzspektrum mit interpolierten Punkten zwischen dem betrachten möchten, was Sie wirklich berechnet haben.

— Spacey

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Zunächst hilft es, die Terminologie zu sortieren:

Eine Funktion im Zeitbereich ist als Signal bekannt .
Eine Funktion im Frequenzbereich ist als Spektrum bekannt .

{ein}_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \cos n x d x

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) Sünde n x d x

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

s_{f} (x) = \frac{{ein}_{n}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} {ein}_{n} \cos (n x) + b_{n} s ich n (n x)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

s_{f} (x) = s (x)

$s_f(x)=s(x)$

In dieser Gleichung sind a _n und b _n der Realteil und der Imaginärteil des diskreten Spektrums. Wie Sie sehen, ist die Fouriertransformation eines Kosinus daher eine reelle Zahl, und für einen Sinus ist sie eine imaginäre Zahl. Das T auf dem Integral bedeutet, dass wir über eine volle Periode des Signals integrieren. Dies wird hauptsächlich in der sogenannten Oberschwingungsanalyse verwendet, die ich hauptsächlich bei der Analyse von analogen Schaltkreisen mit nicht sinusförmigen Signalen (Rechteckwellen, Dreieckwellen usw.) verwendet habe. Aber was ist, wenn das Signal nicht periodisch ist? Dies funktioniert nicht und wir müssen uns der Fourier-Transformation zuwenden.

Die Fourier-Transformation wandelt ein kontinuierliches Signal in ein kontinuierliches Spektrum um. Im Gegensatz zur Fourier-Reihe ermöglicht die Fourier-Transformation die Umwandlung von Nichtperiodenfunktionen in ein Spektrum. Eine nichtperiodische Funktion ergibt immer ein kontinuierliches Spektrum.

Die zeitdiskrete Fourier-Transformation erzielt dasselbe Ergebnis wie die Fourier-Transformation, arbeitet jedoch mit einem diskreten (digitalen) Signal und nicht mit einem kontinuierlichen (analogen) Signal. Die DTFT kann ein kontinuierliches Spektrum erzeugen, da ein nichtperiodisches Signal wie bisher immer ein kontinuierliches Spektrum erzeugt - auch wenn das Signal selbst nicht kontinuierlich ist. Eine unendliche Anzahl von Frequenzen wird immer noch im Signal vorhanden sein, obwohl es diskret ist.

Um Ihre Frage zu beantworten, ist die DTFT wohl die nützlichste, da sie mit digitalen Signalen arbeitet und es uns daher ermöglicht, digitale Filter zu entwerfen. Digitalfilter sind weiteffizienter als analoge. Sie sind viel billiger, zuverlässiger und einfacher zu entwerfen. Die DTFT wird in mehreren Anwendungen verwendet. Auf den Kopf gestellt: Synthesizer, Soundkarten, Aufnahmegeräte, Sprach- und Spracherkennungsprogramme, biomedizinische Geräte und einige andere. Die DTFT in ihrer reinen Form wird hauptsächlich zur Analyse verwendet, aber die DFT, die ein diskretes Signal aufnimmt und ein diskretes Spektrum ergibt, ist in den meisten der oben genannten Anwendungen programmiert und ein integraler Bestandteil der Signalverarbeitung in der Informatik. Die gebräuchlichste Implementierung der DFT ist die Fast Fourier Transform. Es ist ein einfacher rekursiver Algorithmus, der hier zu finden ist . Ich hoffe das hilft! Fühlen Sie sich frei zu kommentieren, wenn Sie Fragen haben.

— Zetta Suro
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Wie pv. Die DFT wird durch Abtasten der DTFT im "Frequenzbereich" erhalten. Wie Sie vielleicht wissen, wird ein zeitdiskretes Signal durch Abtasten eines zeitkontinuierlichen Signals erhalten. Um das zeitkontinuierliche Signal jedoch perfekt aus seinem zeitdiskreten Gegenstück zu konstruieren, MUSS die Abtastrate größer sein als die Nyquist-Rate. Um dies zu erreichen, muss das zeitkontinuierliche Signal frequenzbegrenzt sein.

Für die DTFT und DFT ist die Geschichte irgendwie umgekehrt. Sie haben eine DTFT, die in der Domäne "Frequenz" kontinuierlich ist. Grundsätzlich können Sie ein kontinuierliches Signal nicht speichern und in einem Computer verarbeiten. Die Lösung ist Sampling! Also probierst du aus der DTFT und rufst das Ergebnis DFT auf. Gemäß dem Abtasttheorem MUSS das Zeitbereichsgegenstück der DTFT jedoch "zeitlich" begrenzt sein, um die DTFT perfekt aus der DFT zu rekonstruieren. Deshalb muss vor der DFT eine Fensterfunktion verwendet werden.

— Sina
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