Was ist der Unterschied zwischen ergodisch und stationär?

Ich habe Probleme, zwischen diesen beiden Begriffen zu unterscheiden. Dies ist soweit mein Verständnis.

Ein stationärer Prozess ist ein stochastischer Prozess, dessen statistische Eigenschaften sich mit der Zeit nicht ändern. Für einen strengen stationären Prozess bedeutet dies, dass seine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung konstant ist; für einen stationären Prozess mit weitem Sinn bedeutet dies, dass sein 1. und 2. Moment konstant sind.

Bei einem ergodischen Prozess lassen sich seine statistischen Eigenschaften wie die Varianz aus einer ausreichend langen Stichprobe ableiten. ZB konvergiert der Abtastmittelwert mit dem wahren Mittelwert des Signals, wenn Sie lange genug mitteln.

Nun scheint es mir, dass ein Signal stationär sein müsste, um ergodisch zu sein.

• Und welche Arten von Signalen könnten stationär sein, aber nicht ergodisch?
• Wenn ein Signal zum Beispiel für alle Zeiten die gleiche Varianz aufweist, wie könnte die zeitlich gemittelte Varianz dann nicht zum wahren Wert konvergieren?
• Worin besteht also der wirkliche Unterschied zwischen diesen beiden Konzepten?
• Können Sie mir ein Beispiel für einen Prozess geben, der stationär ist, ohne ergonomisch zu sein, oder ergodisch, ohne stationär zu sein?

Ein Zufallsprozess ist eine Sammlung von Zufallsvariablen, eine für jeden betrachteten Zeitpunkt. Typischerweise kann dies eine kontinuierliche Zeit ( ) oder eine diskrete Zeit (alle ganzen Zahlen oder alle Zeitpunkte wobei das Abtastintervall ist) sein. $-\infty < t < \infty$$n$$nT$$T$

• Stationarität bezieht sich auf die Verteilungen der Zufallsvariablen. Genauer gesagt, in einem stationären Prozeß, alle die Zufallsvariablen die gleiche Verteilungsfunktion und , allgemeine, für jede positive ganze Zahl und Zeitpunkt , die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen ist die gleiche wie die gemeinsame Verteilung von . Das heißt, wenn wir alle Zeitpunkte um , ändert sich die statistische Beschreibung des Prozesses überhaupt nicht: Der Prozess ist stationär$n$$n$$t_1, t_2, \ldots, t_n$$n$$X(t_1), X(t_2), \cdots, X(t_n)$$X(t_1+\tau), X(t_2+\tau), \cdots, X(t_n+\tau)$$\tau$.
• Die Ergodizität betrachtet hingegen nicht die statistischen Eigenschaften der Zufallsvariablen, sondern die Probenpfade , dh das, was Sie physikalisch beobachten. Unter erneuter Bezugnahme auf die Zufallsvariablen sei daran erinnert, dass Zufallsvariablen Zuordnungen von einem Abtastraum zu den reellen Zahlen sind. Jedes Ergebnis wird auf eine reelle Zahl abgebildet, und verschiedene Zufallsvariablen ordnen ein bestimmtes Ergebnis normalerweise verschiedenen Zahlen zu. Stellen Sie sich also vor, dass ein höheres Ergebnis das Experiment ist, das zu einem Ergebnis im Probenraum geführt hat, und dass dieses Ergebnis von allen Zufallsvariablen im Prozess auf (normalerweise unterschiedliche) reelle Zahlen abgebildet wurde: speziell dem Zufall Variable hat abgebildet$\omega$$X(t)$$\omega$zu einer reellen Zahl werden wir als . Die Zahlen , als eine Wellenform betrachtet, sind die Probenpfade zu entsprechenden und verschiedene Ergebnisse werden uns Pfade unterschiedliche Proben geben. Die Ergodizität befasst sich dann mit den Eigenschaften der Probenpfade und wie diese Eigenschaften mit den Eigenschaften der Zufallsvariablen zusammenhängen, aus denen der Zufallsprozess besteht.$x(t)$x ( t ) ω $x(t)$$\omega$

Nun können wir für einen Beispielpfad aus einem stationären Prozess den Zeitmittelwert berechnen. aber, was bedeutet zu tun hat mit , der Mittelwert des Zufallsprozesses? (Beachten Sie, dass es egal ist, welchen Wert von wir verwenden; alle Zufallsvariablen haben die gleiche Verteilung und damit den gleichen Mittelwert (falls der Mittelwert existiert)). Wie das OP sagt, konvergiert der Mittelwert oder die Gleichstromkomponente eines Probenpfades gegen den Mittelwert des Prozesses, wenn der Probenpfad lange genug beobachtet wird, vorausgesetzt, der Prozess ist ergodisch$x(t)$≤ x = 1

$$\bar{x} = \frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$$ $\bar{x}$$\mu = E[X(t)]$$t$und stationär usw. Das heißt, Ergodizität ermöglicht es uns, die Ergebnisse der beiden Berechnungen zu verbinden und zu behaupten, dass gleich Verfahren für die diese Gleichheit wird gesagt , hält sein mean-ergodisch , und ein Verfahren ist , mean-ergodisch , wenn seine Autokovarianzfunktion die Eigenschaft hat: $$\lim_{T\to \infty}\bar{x} = \lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$$ μ = E [ X ( t ) ] = ∫ ∞ - ∞ u f X ( u )
$$\mu = E[X(t)] = \int_{-\infty}^\infty uf_X(u) \,\mathrm du.$$ $C_X(\tau)$ $$\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T C_X(\tau) \mathrm d\tau = 0.$$

Daher müssen nicht alle stationären Prozesse mittelergodisch sein. Es gibt aber auch andere Formen der Ergodizität. Beispielsweise konvergiert für einen autokovarianzergodischen Prozess die Autokovarianzfunktion eines endlichen Segments (z. B. für des zur Autokovarianzfunktion des Prozesses als . Eine pauschale Aussage, dass ein Prozess ergodisch ist, könnte jede der verschiedenen Formen bedeuten, oder es könnte eine spezifische Form bedeuten; man kann einfach nicht sagen,$t\in (-T, T)$$x(t)$$C_X(\tau)$$T\to \infty$

Als Beispiel für den Unterschied zwischen den beiden Konzepten sei angenommen, dass für alle betrachteten . Hier ist eine Zufallsvariable. Dies ist ein stationärer Prozess: Jedes hat die gleiche Verteilung (nämlich die Verteilung von ), das gleiche Mittel , die gleiche Varianz usw .; Jedes und hat die gleiche gemeinsame Verteilung (obwohl sie entartet ist) und so weiter. Der Prozess ist jedoch nicht ergodisch, da jeder Probenpfad eine Konstante ist . Insbesondere, wenn eine Prüfung des Experiments (wie von Ihnen oder von einem überlegenen Wesen durchgeführt) ergibt$X(t) = Y$$t$$Y$$X(t)$$Y$$E[X(t)] = E[Y]$$X(t_1)$$X(t_2)$$Y$ den Wert ; hat, dann hat der Abtastpfad des Zufallsprozesses, der diesem experimentellen Ergebnis entspricht, den Wert für alle , und der DC-Wert des Abtastpfads ist ; nicht , egal wie lange Sie den (eher langweiligen) Sample-Pfad beobachten. In einem Paralleluniversum würde der Versuch zu und der Stichprobenpfad in diesem Universum würde für alle Wert haben . Es ist nicht einfach, mathematische Spezifikationen zu schreiben, um solche Trivialitäten aus der Klasse der stationären Prozesse auszuschließen, und daher ist dies ein sehr minimales Beispiel für einen stationären Zufallsprozess, der nicht ergodisch ist.$\alpha$$\alpha$$t$$\alpha$$E[X(t)] = E[Y]$$Y = \beta$$\beta$$t$

Kann es einen zufälligen Prozess sein, ist nicht stationär , sondern ist ergodic? Nun, N0 , nicht , wenn durch ergodische meinen wir ergodic auf jede erdenkliche Art und Weise man sich vorstellen kann: zum Beispiel, wenn wir die Messung der Bruchteil der Zeit , während der ein langes Segment des Probenpfades Wert höchstens hat , Dies ist eine gute Schätzung von , dem Wert der (gemeinsamen) CDF der 's bei wenn der Prozess vorausgesetzt wird in Bezug auf die Verteilungsfunktionen ergodisch sein. Aber wir können zufällige Prozesse haben, die es sind$x(t)$$\alpha$$P(X(t) \leq \alpha) = F_X(\alpha)$$F_X$$X(t)$$\alpha$nicht stationär sind aber dennoch mittlere -ergodic und Autokovarianzfunktion -ergodic. Betrachten Sie zum Beispiel den Prozess wobei vier gleich wahrscheinliche Werte annimmt: und . Man beachte, dass jedes eine diskrete Zufallsvariable ist, die im Allgemeinen vier gleich wahrscheinliche Werte annimmt und . Es ist leicht zu erkennen, dass im Allgemeinen und$\{X(t)\colon X(t)= \cos (t + \Theta), -\infty < t < \infty\}$$\Theta$$0, \pi/2, \pi$$3\pi/2$$X(t)$$\cos(t), \cos(t+\pi/2)=-\sin(t), \cos(t+\pi) = -\cos(t)$$\cos(t+3\pi/2)=\sin(t)$$X(t)$$X(s)$unterschiedliche Verteilungen haben, und daher ist der Prozess nicht einmal stationär erster Ordnung. Andererseits ist für jedes während Kurz gesagt, hat der Prozess einen Mittelwert von Null und seine Autokorrelation (und Autokovarianz) Funktion hängt nur von der Zeitdifferenz , und so das Verfahren ist

$$E[X(t)] = \frac 14\cos(t)+ \frac 14(-\sin(t)) + \frac 14(-\cos(t))+\frac 14 \sin(t) = 0$$ $t$ $$\begin{align} E[X(t)X(s)]&= \left.\left.\frac 14\right[\cos(t)\cos(s) + (-\cos(t))(-\cos(s)) + \sin(t)\sin(s) + (-\sin(t))(-\sin(s))\right]\\ &= \left.\left.\frac 12\right[\cos(t)\cos(s) + \sin(t)\sin(s)\right]\\ &= \frac 12 \cos(t-s). \end{align}$$ $t-s$weiter Sinn stationär. Es ist jedoch nicht stationär erster Ordnung und kann daher auch nicht zu höheren Ordnungen stationär sein. Nun, wenn das Experiment durchgeführt wird , und der Wert von bekannt ist , erhalten wir die Beispielfunktion , die eindeutig sein , muss und , die DC - Wert , die gleich und deren Autokorrelationsfunktion , gleich wie , und dieser Prozess so ist mean-ergodischen und Autokorrelation-ergodisch , obwohl es nicht stationär überhaupt. Abschließend stelle ich fest, dass der Prozess in Bezug auf die Verteilungsfunktion nicht ergodisch ist$\Theta$$\pm \cos(t)$$\pm \sin(t)$$0$$0$$\frac 12 \cos(\tau)$$R_X(\tau)$das heißt, es kann nicht in jeder Hinsicht als ergodisch bezeichnet werden.

Betrachten wir einen hypothetischen Zufallsprozess, bei dem die Beispielfunktionen DC-Werte sind und sich voneinander unterscheiden:

X ₁ (t) = Konstante = Mittelwert von X ₁ (t)

X ₂ (t) = Konstante = Mittelwert von X ₂ (t)

Das zeitliche Mittel von und ist konstant, aber nicht gleich. Wenn mein Prozess stationär ist, sind und gleich und RVs (siehe Dilips Antwort)X 2 ( t ) X ( t 1 ) X ( t 2$X_1(t)$$X_2(t)$$X(t_1)$$X(t_2)$

Der Ensemble-Mittelwert von ist also konstant.$X(t)$

Dieser Ensemble-Mittelwert ist sicherlich nicht gleich dem zeitlichen Mittelwert von und (sie selbst sind nicht gleich). Dies kann als stationärer, aber nicht als ergodischer Vorgang bezeichnet werden.X 2 ( t $X_1(t)$$X_2(t)$

Im Gegensatz dazu ist wobei ; ein Wohnmobil ist, ergodisch.$X(t)=Acos(\omega t+\theta)$$\theta$

Ich hoffe, dass dieses Video (vom Florida Institute of Technology) von Dr. Ivica Kostanic ab 16:55 Uhr mit dem Titel "Was ist ein breites Sinnesgefühl, ein strenges Sinnesgefühl, ergodische Signale" Ihre Zweifel klären kann

Ein ergodischer Prozess ist ein Prozess, bei dem Sie den zeitlichen Mittelwert durch den ergodischen Mittelwert ersetzen können.

Der reale Mittelwert, die Varianz usw. werden durch Verfolgen eines Prozesses über die Zeit und durch Mitteln usw. definiert. Wenn Sie zum Beispiel den Mittelwert meiner Größe kennen möchten, müssen Sie den Mittelwert ab dem Zeitpunkt meiner Geburt berechnen wenn ich sterbe. Offensichtlich ist das spätere Beispiel kein stationärer Prozess.

Der ergodische Mittelwert wäre, wenn Sie, anstatt meiner Größe im Laufe der Zeit zu folgen, die Zeit einfrieren und den Mittelwert über eine Stichprobe verschiedener individueller Menschen ziehen würden. Es gibt keinen Grund, warum diese beiden Mittel gleich sind, daher ist der Prozess meiner Größe nicht ergodisch.

Das ist ein schlechtes Beispiel, aber es wird wichtiger, wenn man den einfachen Fall eines Gases im Gleichgewicht betrachtet. Zum Beispiel wird die mittlere Quadratgeschwindigkeit als (Mittelwert über die Zeit) notiert , aber häufig berechnet, indem der Ensemblemittelwert : der Mittelwert der Quadratgeschwindigkeit aller Moleküle von das Gas zu einem Zeitpunkt . ⟨V2⟩$\bar{V^2}$$\left< V^2 \right>$$t$

Die meisten Thermodynamiksätze erfordern die Verwendung von , aber es ist einfacher, zu berechnen und zu verwenden . Die ergodische Hypothese ist die Hypothese, die besagt, dass es richtig ist, das eine durch das andere zu ersetzen. Ein ergodischer Prozess ist ein Prozess, für den die ergodische Hypothese wahr ist. ⟨V2$\bar{V^2}$$\left< V^2 \right>$

Die ergodische Hypothese ist im allgemeinen Fall falsch.

Als Beispiel für den umgekehrten Fall (dh einen Zufallsprozess, der ergodisch, aber nicht stationär ist) wird ein Prozess mit weißem Rauschen betrachtet, der durch eine deterministische Rechteckwelle amplitudenmoduliert wird. Der zeitliche Durchschnitt jeder Abtastfunktion ist gleich Null, ebenso wie der Ensemble-Durchschnitt über die gesamte Zeit. Der Prozess ist also ergodisch. Die Varianz einer einzelnen Abtastfunktion zeigt jedoch die ursprüngliche Abhängigkeit der Rechteckwelle von der Zeit, so dass der Prozess nicht stationär ist.

Dieses besondere Beispiel ist weitsinnig stationär, aber man kann verwandte Beispiele erfinden, die immer noch ergodisch sind, aber nicht einmal weitsinnig stationär.

Wie ich verstehe, zeigt das folgende Beispiel einen ergodischen und stationären Prozess

 X1 X2 X3  | mean var ...
 1  2  3   | 2    1
 2  3  1   | 2
 3  1  2   | 2
 ----------

Mittelwert 2 2 2 var 1

weil der Mittelwert und die Varianz jeder Spalte über die Zeit konstant sind und der Mittelwert und die Varianz jeder Zeile über die Zeit konstant sind