Eine gute mathematische Erklärung des Gibbs-Phänomens

13

Ich habe jemandem erklärt, wie Fourier-Reihen im Kontext der Konstruktion von Signalen funktionieren, die nicht überall differenzierbar sind, z. B. Rechteckwellen, Sägezahnwellen usw. Als ich jedoch das Gibbs-Phänomen erwähnte, wurde mir klar, dass ich nie wirklich erfahren habe, warum es passiert. Tatsächlich hat nicht jeder gemerkt, dass es sich um eine tatsächliche mathematische Eigenschaft einer unendlichen Reihe von periodischen Signalen und nicht um einen rechnerischen Zufall handelt, und es stellt sich heraus, dass die meisten Beweise ziemlich mühsam und aufwändig sind.

Nachdem ich einige von ihnen gelesen hatte, begann ich zu begreifen, warum ein solches Phänomen auftreten könnte, aber ich habe einen Hintergrund in realer und komplexer Analyse, Topologie und so weiter. Die Frage ist, ob ich jemandem, der nur die grundlegenden Grundrechenkurse in seinem Arsenal hat (oder andere allgemeine Voraussetzungen für einen Grundkurs zur Signalverarbeitung), das Gibbs-Phänomen vollständig erklären und rigoros beweisen kann. Wenn ja, wie dann?

fourier-series gibbs-phenomenon

— Phonon
quelle

4

IMHO ist der Wikipedia-Artikel über das Gibbs-Phänomen eigentlich recht gut geschrieben. Suchen Sie das oder brauchen Sie etwas anderes? en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon

— Hilmar

1

Ich fand das Phänomen immer faszinierend. Eines der überraschendsten Details in Bezug auf eine auf eine endliche Länge verkürzte Fourier-Reihe ist, dass die Gibbs-Oszillationen mit zunehmender Anzahl der Terme in der Summe zeitlich komprimiert werden, die Größe des Überschwingens jedoch konstant bleibt. Vor langer Zeit erhielt ich eine großartige Erklärung, warum in einem Grundstudium, aber ich glaube nicht, dass ich es aufgeschrieben habe.

— Jason R

5

Das Buch "Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills" von P. Nahin, Princeton University Press, führt zu einer Erklärung der Gibbs-Phänomene, die für jemanden mit einem guten mathematischen Hintergrund auf Universitätsniveau geeignet sein könnten.

— hotpaw2
quelle

1

Das heißt: Eine angemessene strenge Erklärung auf dieser Ebene darf nicht kürzer sein als ein oder mehrere Kapitel in Buchlänge.

— hotpaw2

Dieses Buch scheint eine Erklärung dessen zu enthalten, was das (Wilbraham-) Gibbs-Phänomen ist, und eine interessante Diskussion der Geschichte seiner Entdeckung, aber keine Erklärung oder Herleitung. Vielleicht habe ich es verpasst. In welchem Fall kann jemand einen Abschnitt und / oder eine Seitennummer angeben?

— Max M

2

Sie können immer sagen, dass sin und cos die Form eines Kreises haben und niemals die Form einer scharfen Kante, unabhängig von der Häufigkeit des Arguments. Deshalb müssen Sie unendlich viele davon bekommen, um ein Rechteck zu zeichnen :)

— 0x90
quelle