Intuitive Interpretation der Laplace-Transformation

Also fange ich mit Fourier-Transformationen an. Intuitiv verstehe ich jetzt definitiv, was es tut und werde bald einigen Kursen über Mathematik (also dem eigentlichen Fach) folgen. Aber dann lese ich weiter über die Laplace-Transformation und dort verliere ich sie irgendwie. Was ist der Moment eines Signals? Warum ist die Fourier-Transformation ein Sonderfall der Laplace-Transformation? Wie kann ich die Laplace-Transformation in den Griff bekommen?

Ich habe mir diese Quellen angesehen, bevor ich diese Frage gestellt habe:

Was versteht man unter "Impulsantwort" und "Frequenzantwort" eines Systems?

Wie kann man zwischen den verschiedenen Frequenzbereichen unterscheiden?

Amplitude gegen Frequenzgang

Warum ist die Fourier-Transformation so wichtig?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Wenn Sie ein Verständnis für Fourier-Transformationen haben, haben Sie wahrscheinlich bereits ein konzeptionelles Modell für die Transformation von Signalen in den Frequenzbereich. Die Laplace-Transformation bietet eine alternative Frequenzdomänendarstellung des Signals - üblicherweise als "S-Domäne" bezeichnet, um es von anderen Frequenzdomänentransformationen (wie der Z-Transformation - zu unterscheiden, die im Wesentlichen ein diskretisiertes Äquivalent der Laplace-Transformation ist).

Was ist der Moment eines Signals?

Wie Sie zweifellos wissen, gibt uns die Laplace-Transformation eine Beschreibung eines Signals aus seinen Momenten, ähnlich wie die Fourier-Transformation eine Beschreibung von Phase und Amplituden liefert.

Im Großen und Ganzen kann ein Moment betrachtet werden, wie eine Stichprobe vom Mittelwert eines Signals abweicht - der erste Moment ist tatsächlich der Mittelwert, der zweite ist die Varianz usw. (diese werden zusammen als "Momente einer Verteilung" bezeichnet).

Mit unserer Funktion F (t) können wir die n-te Ableitung bei t = 0 berechnen, um unseren n-ten Moment zu erhalten. So wie ein Signal vollständig unter Verwendung von Phase und Amplitude beschrieben werden kann, kann es durch alle seine Ableitungen vollständig beschrieben werden.

Warum ist die Fourier-Transformation ein Sonderfall der Laplace-Transformation?

Wenn wir uns die bilaterale Laplace-Transformation ansehen:

Es sollte ziemlich offensichtlich sein, dass eine Substitution die bekannte Fourier-Transformationsgleichung ergibt:$s=i\omega$

Es gibt einige Hinweise zu dieser Beziehung ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ), aber die Mathematik sollte ziemlich transparent sein.

Warum ist die Fourier-Transformation ein Sonderfall der Laplace-Transformation?

Die Laplace-Transformation erzeugt eine 2D-Oberfläche komplexer Werte, während die Fourier-Transformation eine 1D-Linie komplexer Werte erzeugt. Die Fourier-Transformation erhalten Sie, wenn Sie die Laplace-Transformation entlang der jω-Achse schneiden. Zum Beispiel hat ein einfaches Tiefpassfilter einen einzelnen Pol in der S-Ebene links vom Ursprung:$H(s)=\frac{1}{s+1}$

Von der Seite gesehen bildet die Größe dieser Laplace-Transformation eine Oberfläche, wobei der Pol wie ein Zeltpfosten wirkt, der die Amplitude an diesem Punkt auf unendlich erhöht (und eine implizite Null an unendlich, die die Amplitude auf Null abfällt, je weiter von der entfernt Herkunft erhalten Sie in jede Richtung):

Wenn Sie jetzt nur den Wert der Oberfläche entlang der jω-Achse nehmen, ist dies die Fourier-Transformation. Es ist die rote Kurve im Bild oben, die einen Tiefpassfilter bildet. Wenn Sie den Pol weiter vom Ursprung wegbewegen, bewegt sich das Zelt in die gleiche Richtung, und die Schicht entlang der jω-Achse fällt ab, wodurch sowohl die Verstärkung (die wir durch Hinzufügen der Gesamtverstärkung kompensieren) verringert als auch die Grenzfrequenz erhöht wird. Ich wollte ein paar Animationen von solchen Sachen machen ...

http://www.maximintegrated.com/de/app-notes/index.mvp/id/733

/signals//a/9579/29

Die beste intuitive Beschreibung der Laplace-Transformation, die ich je gesehen habe:

Auf den ersten Blick scheint die Strategie der Laplace-Transformation dieselbe zu sein wie die der Fourier-Transformation: Korrelieren Sie das Zeitbereichssignal mit einer Reihe von Basisfunktionen, um die Wellenform zu zerlegen. Nicht wahr! Obwohl die Mathematik sehr ähnlich ist, sind die Gründe für die beiden Techniken sehr unterschiedlich.

Die Laplace-Transformation kann als Untersuchung der Impulsantwort des Systems mit verschiedenen exponentiell abfallenden Sinuskurven angesehen werden. Das Abtasten von Wellenformen, die eine Auslöschung erzeugen, wird als Pole und Nullen bezeichnet.

Dies ermöglicht es uns, anstatt den Frequenzgang für jedes , einen kleinen Satz von Merkmalspunkten zu verwenden, die das Verhalten eines Systems in allen anderen Punkten bestimmen (einschließlich des Teils der Ebene der ein Frequenzgang ist).s s = j $\omega$$s$$s=j\omega$

Dafür gibt es in einem Buch eine schöne Analogie:

Überlegen Sie nun, wie Sie die Beziehung zwischen Höhe und Entfernung entlang der Zugstrecke im Vergleich zu der des Schaffners verstehen. Da Sie die Höhe auf dem Weg direkt gemessen haben, können Sie zu Recht behaupten, dass Sie alles über die Beziehung wissen. Im Vergleich dazu kennt der Schaffner dieselben vollständigen Informationen, jedoch in einer einfacheren und intuitiveren Form: die Position der Hügel und Täler, die die Einbrüche und Buckel entlang des Pfades verursachen. Während Ihre Beschreibung des Signals aus Tausenden von Einzelmessungen bestehen kann, enthält die Beschreibung des Signals durch den Leiter nur wenige Parameter.