Gibt es Alternativen zur bilinearen Transformation?

Beim Entwerfen eines digitalen Filters basierend auf einem analogen Filter verwenden wir normalerweise die bilineare Transformation . Um eine diskrete Übertragungsfunktion annähert aus analog (kontinuierlich) Übertragungsfunktion A ( s ) wir Ersatz$D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

wobei die Abtastperiode ist. Alternativ setzen wir ein, um eine kontinuierliche Übertragungsfunktion A a ( s ) von der diskreten Übertragungsfunktion D ( z ) zu approximieren$T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

Gibt es alternative Methoden zur Durchführung solcher Konvertierungen? Gibt es bessere Annäherungen?

Analogfilter sind stabil, wenn sich die Pole in der linken Hälfte der S-Ebene befinden (Abbildung links), und Digitalfilter sind stabil, wenn sich die Pole innerhalb des Einheitskreises befinden (Abbildung rechts). Für die Umwandlung von analog zu digital ist also mathematisch nur eine Abbildung (konform?) Vom Halbraum auf die Einheitsscheibe und von der Achse auf den Einheitskreis | erforderlich z | = 1 . Jede Transformation, die dies tut, ist ein möglicher Kandidat für eine Alternative zur bilateralen Transformation.$\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

Es gibt jedoch wesentliche Unterschiede zwischen den beiden.

Impulsinvarianzmethode:

Bei dieser Methode erweitern Sie die analoge Übertragungsfunktion als Teilbrüche (nicht in der von Peter erwähnten angepassten Z-Transformation ) als

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

$C_m$$\alpha_m$

Der Grund, warum dies fehlschlägt, ist ebenfalls klar. Wenn Sie im Zähler ein Polynom mit dem gleichen Grad wie im Nenner hatten, haben Sie einen freistehenden konstanten Term, der bei inverser Transformation eine Delta-Funktion ergibt, die nicht abgetastet werden kann.

$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

Abgestimmte Z-Transformation

$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

Sie können die Einschränkung dieser beiden Methoden leicht erkennen. Die Impulsinvariante ist nur anwendbar, wenn Ihr Filter ein Tiefpassfilter ist und die angepasste Z-Transformationsmethode auf Bandsperren- und Bandpassfilter (und Hochpassfilter bis zur Nyquist-Frequenz) anwendbar ist. Sie sind in der Praxis auch durch die Abtastrate begrenzt (schließlich können Sie nur bis zu einem bestimmten Punkt aufsteigen) und leiden unter den Auswirkungen von Aliasing.

Die bilineare Transformation ist die in der Praxis bei weitem am häufigsten verwendete Methode, und die beiden oben genannten Methoden sind eher für akademische Interessen gedacht. Was die Rückkonvertierung auf Analog angeht, tut mir leid, aber ich weiß es nicht und kann dort nicht viel helfen, da ich kaum Analogfilter verwende.

$s$$z$

Einige Beispiele sind:

Die passende Z-Transformation

$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

Die Umrechnung jedes Teils der Teilfraktionierung erfolgt direkt mit:

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

Simpsons Regel

Eine Interpretation der bilinearen Transformation ist, dass es sich um eine Methode handelt, mit der mit der Trapezregel von einer kontinuierlichen in eine diskrete Zeit übergegangen wird .

Eine genauere Technik für die ungefähre Integration verwendet die Simpson-Regel. Wenn diese Annäherung verwendet wird, ist das resultierende Mapping:

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$