Frage zur Kovarianzmatrix von 2 räumlichen Signalen


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Jedes Mal, wenn ich denke, die Kovarianzmatrix verstanden zu haben, kommt jemand anderes mit einer anderen Formulierung auf.

Ich lese gerade dieses Papier:

J. Benesty, "Adaptiver Eigenwertzerlegungsalgorithmus für die passive Lokalisierung akustischer Quellen" , J. Acoust. Soc. Am. Band 107 , Ausgabe 1, S. 384-391 (2000)

und ich bin auf eine Formulierung gestoßen, die ich nicht ganz verstehe. Hier konstruiert der Autor die Kovarianzmatrix zwischen zwei Signalen, und x 2 . Diese beiden Signale stammen von unterschiedlichen Sensoren.x1x2

Für die Kovarianzmatrix eines Signals weiß ich, dass wir sie erhalten können, indem wir die Regressionsmatrix berechnen und sie dann mit dem Hermitian derselben Matrix multiplizieren und die Länge des ursprünglichen Vektors durch dividieren . Die Größe der Kovarianzmatrix kann hier beliebig sein, wobei die maximale Größe N × N ist .NN×N

Wenn wir für die Kovarianzmatrix zweier räumlicher Signale das erste Signal in der ersten Reihe und das zweite Signal in der zweiten Reihe einer Matrix platzieren, dann mit ihrem Hermitian multiplizieren und auch durch dividieren , erhalten wir ein 2 × 2 Kovarianzmatrix beider räumlicher Signale.N2×2

In diesem Artikel berechnet der Autor jedoch vier Matrizen, und R 2R11,R12,R21 , und setzt sie dann in eine Supermatrix und nennt das die Kovarianzmatrix.R22

Warum ist das so? Hier ist ein Bild des Textes:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Antworten:


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x1[n]x2[n]N

  1. n=1Nxi[n]xj[n], i,j{1,2}2×2

    R2×2=[σ12CCσ22].
    x1[n]σ12=R1,1R2,2=σ22x2[n]R1.2=R2,1=Cnn1n+1
  2. x1[n]x1[m]x1[n]x2[m]2N2N×2NRfull=E[XXT]

    X=(x1[1],x1[2],,x1[N],x2[1],x2[2],,x2[N])T=(x1,x2)T
    Rfull=[Rx1,x1Rx1,x2Rx2,x1Rx2,x2]
    Rxi,xj=E[xixjT]Rxi,xj(xi[1],xi[2],,xi[N])(xj[1],xj[2],,xj[N])iji=jn=m
    RfullRsimple=[σ12ICICIσ22I]
    IN×Nσ12,σ22C2N×2NRfull2×2R2×22N×2NRfullσ12,σ22CRfullRsimpleR2×2

Vielen Dank. Sollte das Sigma in (1) nicht von n = 0 bis N-1 sagen? (Nicht von i = 1 bis n).
Spacey

Ich bin mir nicht sicher, ob ich noch verstehe, was / warum wir das so machen. Wollen Sie damit sagen, dass wir für (1), da die Rauschen in beiden Vektoren völlig unabhängig voneinander sind, diese Methode verwenden müssen, um eine 2x2-Kovarianzmatrix zu erhalten, aber im zweiten Fall (2), da Die Rauschen in den Vektoren sind nicht unabhängig. Wir müssen beide Vektoren verketten und dann ihre Kovarianzmatrix berechnen. Warum allerdings? Ich fürchte, ich verstehe die Motivation hier immer noch nicht ...
Spacey

Danke, ich werde es wieder lesen. Außerdem muss der Index für Sigma 'n' sein, nicht 'i'.
Spacey

R2x2,RfullRsimple

x1x2
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