Feste Mechanik mit endlichen Unterschieden: Wie gehe ich mit „Eckknoten“ um?

Ich habe eine Frage zur Kodierung der Randbedingungen für die Festkörpermechanik (lineare Elastizität). Im Sonderfall muss ich endliche Differenzen (3D) verwenden. Ich bin sehr neu in diesem Thema, daher können einige der folgenden Fragen sehr grundlegend sein.

Um zu meinem spezifischen Problem zu führen, möchte ich zunächst zeigen, was ich bereits implementiert habe (Um es klar zu halten, werde ich nur 2D verwenden).

1.) Ich habe die folgende Diskretisierung von $div(\sigma) = 0$ , die die erste Komponente der Divergenz $\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$:

Ich verwende ein nicht versetztes Gitter, daher werden Ux und Uy an derselben Stelle definiert.

2.) Der nächste Schritt war die Behandlung der Grenzen, an denen ich "Geisterknoten" verwende. Nach $\sigma \bullet n = t^*$ ist $t^*$ die Spannung an der Grenze.

$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) Ich denke bis jetzt scheinen alle meine Schritte logisch zu sein, wenn nicht, korrigieren Sie mich bitte . Aber jetzt gibt es auch die "Eckknoten", bei denen ich keine Ahnung habe, wie ich damit umgehen soll.

$div(\sigma) = 0$

Meine Frage ist also, wie man mit diesen "Eckknoten" richtig umgeht. Ich freue mich über jede Idee.

Ich hatte ähnliche Probleme mit den Eckrandbedingungen, insbesondere bei der Lösung von Strukturplattenproblemen mit einem gleichmäßig angelegten Querdruck. Insbesondere, wenn versucht wird, die Scherbelastungen an den Kanten (einschließlich der Ecken) zu erhalten. Die Scherbelastungen sind eine Funktion von ∂ ^ 3 w / ∂ ^ 2 x∂y. Unter Verwendung eines zentralen Differenzschemas benötigt man den "Geister" -Knoten, der diagonal zum Eckknoten ist, um diese Ableitung zu bestimmen. Ich glaube nicht, dass eine Mittelung basierend auf benachbarten Knoten angemessen ist. Ich habe das am Eckknoten berechnete Verdrehmoment Mxy verwendet und es als Funktion der Verschiebungen mit dem "Molekül" mit endlicher Differenz für das Verdrehmoment gleichgesetzt. Da ich bereits die Verschiebungen aller anderen benachbarten Knoten kannte (basierend auf den Randbedingungen entlang der Kanten der Platte), war es einfach, diesen "kniffligen" Eckknoten zu lösen. Ich hoffe das hilft.

Möglicherweise versuchen Sie, ein Gleichungssystem zu lösen, für das es keine eindeutige Lösung gibt. Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Reihe von Knoten, die durch Federn verbunden sind und im Raum schweben, und Sie möchten die Gleichgewichtsposition jedes Knotens ermitteln. Wenn das System nicht an etwas Festem verankert ist (oder keine Kraft angewendet wird), gibt es viele mögliche Lösungen. Jede Lösung kann immer übersetzt oder gedreht werden und ist immer noch eine Lösung. Haben Sie versucht, die Verschiebungen an einem Eckknoten zu korrigieren, um eine Verschiebung zu vermeiden, und eine Verschiebung an einer anderen Ecke, um Rotationen zu vermeiden?

Ich habe einmal versucht, einige Knoten zu fixieren und Normalkräfte an anderen anzupassen, aber es schien große Kraftmengen auf einzelne Grenzknoten zu konzentrieren, was zu Instabilität führte. Am Ende ging es darum, nicht nur einige Knoten zu verankern, sondern alle Knoten relativ zu einer homogenen Belastung zu verankern. Im Wesentlichen spannen Sie das gesamte System homogen, beziehen dann aber die homogene Komponente in die lokale Definition der Dehnung an jedem Knoten ein, sodass keine zusätzliche elastische Energie dazu beiträgt. Sie können mehr darüber in diesem Artikel und den zitierten Referenzen lesen: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u .

Dieses Instabilitätsproblem ist wahrscheinlich ein guter Grund, wenn möglich Finite Elemente für mechanische Probleme zu wählen.