Anwenden von Dirichlet-Randbedingungen auf die Poisson-Gleichung mit der Methode des endlichen Volumens

Ich würde gerne wissen, wie Dirichlet-Bedingungen normalerweise angewendet werden, wenn die Methode des endlichen Volumens auf einem zellzentrierten ungleichmäßigen Gitter angewendet wird.

Meine aktuelle Implementierung legt einfach die Randbedingung fest, dass ich den Wert der ersten Zelle festlege.

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

Dabei ist die Lösungsvariable und der Dirichlet-Randbedingungswert an der lhs der Domäne ( NB ). Dies ist jedoch nicht möglich, da die Randbedingung sollte den Wert der Zelle fixiert Gesichts nicht der Wert der Zelle selbst. Was ich wirklich anwenden sollte ist,g D ( x L ) x L ≡ x 1 /$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

Lösen wir zum Beispiel die Poisson-Gleichung:

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

mit Anfangsbedingung und Randbedingungen,

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

(wobei eine Neumann-Randbedingung auf der rechten Seite ist).$g_N(x_R)$

Beachten Sie, wie die numerische Lösung den Wert der auf den Randbedingungswert ( ) auf der linken Seite festgelegt hat. Dies hat zur Folge, dass die gesamte Lösung nach oben verschoben wird. Der Effekt kann durch die Verwendung einer großen Anzahl von Maschenpunkten minimiert werden, dies ist jedoch keine gute Lösung für das Problem.$g_D(x_L)=0$

Frage

Wie werden Dirichlet-Randbedingungen bei Verwendung der Finite-Volumen-Methode angewendet? Ich gehe davon aus, dass ich den Wert von durch Interpolation oder Extrapolation mit (einem Geisterpunkt) oder so , dass die gerade Linie, die durch diese Punkte verläuft, den gewünschten Wert bei . Können Sie eine Anleitung oder ein Beispiel dafür geben, wie dies für ein ungleichmäßiges zellzentriertes Netz getan werden kann?ϕ 0 ϕ 2 x $\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

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Hier ist mein Versuch, einen von Ihnen vorgeschlagenen Ghost-Cell-Ansatz zu verwenden. Sieht er vernünftig aus?

Die Gleichung für Zelle lautet (wobei den Fluss von ),F$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

Wir müssen schreiben in Bezug auf die Randbedingung eine Geisterzelle mit , Ω $\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

Aber letztendlich müssen wir den Term aus der Gleichung . Dazu schreiben wir eine zweite Gleichung, die die lineare Interpolation vom Zentrum der Zelle zum Zentrum der Zelle . Praktischerweise verläuft diese Linie durch , so dass die Dirichlet-Bedingungen auf diese Weise in die Diskretion da der Wert an diesem Punkt nur ).Ω 0 Ω 1 x L g D ( x L$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

Wenn wir die Gleichungen 1 und 2 kombinieren, können wir eliminieren und einen Ausdruck für in Form von und finden.$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

Unter der Annahme, dass wir das Volumen der Geisterzelle frei wählen können, können wir , um zu geben,$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

Dies kann weiter vereinfacht werden, denn wenn die Zellen und das gleiche Volumen haben, können wir schließlich geben,$\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

Dieser Ansatz hat jedoch die Definition wiederhergestellt, die instabil ist, sodass ich nicht sicher bin, wie ich vorgehen soll. Habe ich Ihren Rat falsch interpretiert (@Jan)? Das Seltsame ist, dass es zu funktionieren scheint, siehe unten,

Siehe unten, es funktioniert,

Bei der Stabilitätsanalyse von FVM-Diskretisierungen für elliptische Probleme mit Dirichlet BC wird zentral davon ausgegangen, dass die inneren Zellen, in denen Sie die PDE , keinen Schnittpunkt mit der Grenze haben, dh wenn als Menge in wenn Ihre Domain , vgl. z. B. das Buch von [ Grossmann & Roos , p. 92]

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

Wenn Sie also in Ihrem Setup den Ansatz ist instabil, dies steht nicht im Widerspruch zu bekannten Stabilitätsergebnissen. BEARBEITEN : Unter Verwendung einer Geisterzelle und linearer Interpolation in sie erhält man für eine bestimmte Wahl von Volumen und Abstand als Fluss. Somit ist in der Tat ein stabiles Schema.

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

Stabilität und Konvergenz (erster Ordnung in der diskreten Max-Norm) für das Poisson-Problem wurde von Grossmann & Roos für Gitter mit unterschiedlichen Grenzzellen mit ihren "Zentren" an der tatsächlichen Grenze nachgewiesen, wie in meiner Zeichnung für einen 1D-Fall dargestellt.

Hier wird der Differentialquotient an der Schnittstelle auf einfache Weise angenähert.

Ich würde sagen, dass Geisterzellen aus zwei Gründen der übliche Ansatz sind.

• Sie ahmen die in meiner Zeichnung beschriebene stabile Situation nach, jedoch mit einer interpolierten Randbedingung
• Sie sind einfach an der physischen Grenze befestigt. Man kann also eine Triangulation der Domäne verwenden, was ebenfalls vorteilhaft ist, da man oft auch natürliche BCs hat, die direkt an die Schnittstelle auferlegt werden [ Grossmann & Roos , p. 101].

Daher schlage ich vor, dass Sie Geisterzellen für die Dirichlet-Grenze verwenden. In Ihrem Beispiel wird dies zu Ihrem System hinzufügen und die Bedingung, dass eine Interpolation zwischen , und möglicherweise anderen an der Grenze gleich .ϕ 0 ϕ 1 g $\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

Ihr "geradliniger" Ansatz würde bedeuten, dass , wobei der Ort der Grenze und die Orte der Orte sind wo du das definierst . Dies bedeutet, dass Sie in Bezug auf eliminieren können , genauso wie Sie in Ihrem ersten Ansatz sofort eliminiert haben, indem Sie es auf Null gesetzt haben.x0xiϕiϕ1ϕ2ϕ$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

Was Sie hier finden, ist, warum endliche Volumina nicht häufig für die elliptischen Gleichungen verwendet werden, für die man Dirichlet-Bedingungen aufstellt. Sie werden für Naturschutzgesetze verwendet, bei denen die natürlicheren Bedingungen in Form von Flussmitteln angegeben werden.

Nehmen wir an, Ihre endliche Volumenform der Poisson-Gleichung kann als Natürlich können Sie die übliche Näherung schreiben Es gibt einige Feinheiten im Zusammenhang mit ungleichmäßigen Gittern, die ich hier ignoriere.

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

Nun geht es darum, wie Sie so approximieren können, dass Sie das bc . Eine Möglichkeit besteht darin, Ihre Näherungsschablone im Vergleich zu den üblichen Schablonen so zu ändern, dass sie die Punkte , und . Wenn mein Gedächtnis mir richtig dient, ist diese Annäherung (unter der Annahme eines einheitlichen Gitters mit dem Abstand , also müssen Sie dies erweitern) $(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ Dies sollte jedoch überprüft werden. In diese Näherung, die genau zweiter Ordnung ist, können Sie Ihr bc einbeziehen. Natürlich wäre eine noch einfachere und genauere Näherung erster Ordnung Auf diese Weise wird die Dirichlet-Randbedingung nur "schwach" erzwungen (dh durch einen Fluss). Wie bereits von Wolfgang kommentiert, ist dies einer der Gründe, warum Finite-Volumen-Methoden für elliptische Probleme weniger verwendet werden als Finite-Elemente-Methoden. $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

Eine Sache, die ebenfalls überprüft werden muss, ist natürlich die Stabilität Ihrer Diskretisierung mit der Näherung zweiter Ordnung an der Grenze. Ich weiß nicht, ob es in Kombination mit einer zentrierten Näherung zweiter Ordnung im Innenraum stabil sein wird. Eine Matrixstabilitätsanalyse wird Ihnen sicher sagen. (Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Annäherung erster Ordnung an der Grenze stabil sein wird.)

Sie erwähnen die Möglichkeit, Geisterpunkte zu verwenden. Dies führt zu dem Problem, dass Sie vom Inneren in den Geisterpunkt extrapolieren und dabei das bc verwenden müssen. Ich vermute, habe es aber nicht "bewiesen", dass zumindest einige Geisterpunktbehandlungen der Verwendung des oben beschriebenen Ansatzes entsprechen.

Hoffe das hilft ein bisschen.