Begrenzung des relativen Ableitungsfehlers bei gegebenem relativen Fehler der Funktion

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Angenommen, eine Funktion kann so berechnet werden, dass die Grenze für den relativen Fehler dh wobei und jeweils der berechnete und exakte Wert und $f$ $R$ $f^-(x) = f(x)(1+r)$ $f^-$ $f$ $f$ $|r| \leq R$

Ich möchte den relativen Fehler der folgenden abgeleiteten Näherungen in Bezug auf $h$ und $R$ für ein allgemeines begrenzen $f$

\begin{aligned} f^{^{'}} (x) & \approx \frac{f (x + h) - f (x - h)}{2 h} \\ f^{^{″}} (x) & \approx \frac{f (x + h) - 2 f (x) + f (x - h)}{h^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} f^{'}(x) &\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\\ f^{''}(x)&\approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} \end{align*}$

In Ralston und Rabinowitz werden die Grenzen als $\frac{R}{h}$ bzw. $\frac{4R}{h^2}$ angegeben. Dies wurde jedoch nicht bewiesen und im Vorbeigehen als Teil einer Erklärung zur Richardson-Extrapolation erwähnt.

Irgendwelche Ideen zu seinem Beweis?

error-estimation

— lächelnder Buddha
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Die von Ihnen angegebenen Formeln enthalten nicht beide Begriffe im Fehler. Sie können aufgrund der Ungenauigkeit bei der Bewertung von und auch aufgrund eines Kürzungsfehlers ( ist zu groß) einen Fehler aufweisen . Im Extremfall ist (genaue Bewertung der Funktion), die von Ihnen aufgelisteten Formeln würden 0 Fehler ergeben, aber es gibt immer noch einen Kürzungsfehler, der berücksichtigt werden muss. Es ist eine gute Übung, die Formeln für den Kürzungsfehler und den Fehler aufgrund ungenauer Funktionsbewertungen abzuleiten und dann zu sehen, wie sich der Gesamtfehler mit .

f

$f$

h

$h$

R = 0

$R=0$

h

$h$

— Brian Borchers

1

Es wäre hilfreich, wenn Sie eine konkretere Aussage oder zumindest eine genaue Referenz (Satz und Seite) für diese Grenze geben könnten.

— Christian Clason

1

Dieser Satz wurde entweder vom Autor der Frage falsch interpretiert oder es liegt ein Fehler in dem Buch vor, auf das verwiesen wird. Betrachten Sie das folgende Zählerbeispiel:

f (x) = 100 + x

$f(x) = 100+x$

h = 0.01

$h=0.01$

R = 0.01

$R = 0.01$

Bei beträgt der absolute Fehler in jeder Funktionsbewertung , also haben wir Im schlimmsten Fall haben die beiden Fehlerterme das gleiche Vorzeichen und werden nicht aufgehoben. Der relative Fehler der abgeleiteten Näherung kann daher bis zu , was viel größer als . $x=0$ $100*0.01=1$

f^{' -} (0) = \frac{f^{-} (h) - f^{-} (- h)}{2 h} = \frac{(100 + 0.01) \pm 1 - ((100 - 0.01) \pm 1)}{0.02}

$f'^-(0) = \frac{f^-(h) - f^- (-h)}{2h} = \frac{(100+0.01)\pm 1 - ((100-0.01) \pm 1)}{0.02}$

⟹ f^{' -} (0) = \frac{0.02}{0.02} \pm \frac{1}{0.02} \pm \frac{1}{0.02}

$\implies f'^-(0) = \frac{0.02}{0.02} \pm \frac{1}{0.02}\pm \frac{1}{0.02}$

100

$100$

R / h = 1

$R/h = 1$

Soweit ich das beurteilen kann, gibt es keine Grenze für den relativen Fehler für ein allgemeines da durch Auswahl einer Funktion der Form der relative Fehler in der abgeleiteten Näherung immer einfach durch Erhöhen von erhöht werden kann . $f$ $f(x) = n+x$ $n$

Andererseits können wir eine von abhängige Grenze berechnen . Die Grenze für den absoluten Fehler für ausreichend kleines und ist: Beweis: wobei wir Taylor um und Terme der Ordnung oder oder höher vernachlässigen, da sowohl als auch klein sind. In ähnlicher Weise ist Daher ist $f$ $h$ $R$

f^{' -} (x) = \frac{f (x + h) - f (x - h)}{2 h} \pm \frac{f (x) R}{h}

$f'^-(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \pm \frac{f(x)R}{h}$

f^{-} (x + h) = (f (x) + h f^{'} (x)) (1 \pm R)

$f^-(x+h) = (f(x)+hf'(x))(1 \pm R)$

⟹ f^{-} (x + h) = f (x) + h f^{'} (x) \pm R f (x)

$\implies f^-(x+h) =f(x)+hf'(x)\pm Rf(x)$

f

$f$

x

$x$

h R

$hR$

h^{2}

$h^2$

h

$h$

R

$R$

f^{-} (x - h) = f (x) - h f^{'} (x) \pm R f (x)

$f^-(x-h) = f(x) - hf'(x) \pm Rf(x)$

f^{' -} (x) = \frac{2 h f^{'} (x) \pm R f (x) \pm R f (x)}{2 h}

$f'^-(x) = \frac{2hf'(x) \pm Rf(x) \pm Rf(x)}{2h}$

⟹ f^{' -} (x) = f^{'} (x) \pm \frac{R f (x)}{h}

$\implies f'^-(x) =f'(x) \pm \frac{Rf(x)}{h}$ wobei wir noch einmal das Worst-Case-Szenario betrachten, in dem sich die Fehler summieren.

Die Grenze des relativen Fehlers ist daher abhängig von und kann ausgedrückt werden als $f(x)$

f^{' -} (x) = f^{'} (x) (1 \pm \frac{R f (x)}{h f^{'} (x)})

$f'^-(x) = f'(x)\left(1\pm\frac{Rf(x)}{hf'(x)}\right)$

In ähnlicher Weise haben wir

f^{″ -} (x) = f^{″} (x) (1 \pm \frac{4 R f (x)}{h^{2} f^{″} (x)})

$f''^-(x) = f''(x)\left(1 \pm \frac{4Rf(x)}{h^2f''(x)}\right)$

— SimonSciComp
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Wenn natürlich der Kürzungsfehler von im Vergleich zum Term von

h ≫ R

$h\gg R$

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (R / h)

$O(R/h)$

— dominant

ahh, ich habe dieses Kopfgeld komplett vergessen! Auf jeden Fall scheint dies ziemlich gut abzudecken.

— David Z

-1

Um Ihre direkte Frage zu beantworten (und Brian Borchers Kommentar zum Abschneiden nicht zu berücksichtigen):

Nach der Definition, die Sie für , ist sein relativer Fehler , und Ihre Definition sagt es nicht explizit, aber ist nicht konstant, also der relative Fehler inist . $f^-$ $|(f^--f)/f|\leq R$ $r$ $|f^-(x+h)-f^-(x-h)|$ $\leq 2R$

Dies führt direkt zu den relativen Fehlern für seine und in ähnlicher Weise für seinen . $f^{'-}$ $R/h$ $f^{''-}$ $4R/h^2$

— Mark Hurd
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2

Dies gibt Ihnen eine Grenze für den Wert von , nicht auf den Fehler.

| f^{' -} |

$|f'^-|$

f^{' -}

$f'^-$

| f^{' -} - f^{'} |

$|f'^- - f'|$

— Christian Clason