Shortley-Weller-Finite-Differenzen-Methode

Können Sie mir einen Link für eine gute und einfache Erklärung des Finite-Differenzen-Schemas von Shortley-Weller geben? Ich habe versucht, es zu googeln, aber alles, was ich bekomme, sind (unzugängliche) akademische Veröffentlichungen. Ich habe auch versucht, das Kapitel (4.8) in Wolfgang Hackbuschs Buch "Elliptische Differentialgleichungen" zu lesen, fand es aber ziemlich schwierig. Vielen Dank

An Christian Clason: Danke für Ihre Antwort, aber es gibt eine Sache, die ich immer noch nicht verstehe: Was muss ich tun, um diese Methode auf beliebige Grenzen anzuwenden, zum Beispiel auf ein asymmetrisches Strömungsprofil in einer Strömung?

finite-difference

— Michael
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Ich habe die Antwort so bearbeitet, dass sie die grundlegenden Schritte zur tatsächlichen Implementierung dieses Schemas enthält. Wenn es etwas gibt, mit dem Sie Schwierigkeiten haben, können Sie die Antwort gerne kommentieren.

— Christian Clason

Es sieht übrigens so aus, als hätten Sie zwei separate Konten, was bedeutet, dass Sie Ihren ursprünglichen Beitrag nicht bearbeiten oder Kommentare hinterlassen können. Die Mitarbeiter von StackExchange können sie für Sie zusammenführen .

— Christian Clason

Soweit ich das beurteilen kann, besteht dieses Schema lediglich darin, die Schablone mit gleichmäßiger endlicher Differenz in der Nähe der Grenze durch eine ungleichmäßige Schablone zu ersetzen (wobei mindestens ein Punkt verschoben ist, um auf der Grenze zu liegen). Grundsätzlich nehmen Sie Ihre beliebig geformte Domäne, legen sie in eine Box, diskretisieren die Box mit einem einheitlichen Raster, werfen alle Rasterpunkte weg, die nicht mindestens einen Nachbarn innerhalb der Domäne haben, und verschieben die verbleibenden Rasterpunkte auch außerhalb der Domäne horizontal oder vertikal (je nachdem, was am kürzesten ist), so dass sie an der Grenze liegen. (Die eigentliche Implementierung ist natürlich viel langwieriger.)

Um die ungleichmäßige Schablone an einem der Knoten neben einem Grenzknoten zu erhalten, geht man ähnlich wie bei (einer) der Ableitungen der einheitlichen Schablone vor: Interpoliere die (unbekannte) Funktion durch ein quadratisches Polynom in den Knoten und nimm das zweite Derivat. Es genügt, den eindimensionalen Fall mit den Knoten . Dann $x_1=x-h_1,x_2=x,x_3=x-h_2$

D_{h}^{2} u (x) \approx u (x - h_{1}) ℓ_{1}^{″} (x) + u (x) ℓ_{2}^{″} (x) + u (x + h_{2}) ℓ_{3}^{″} (x),

$D^2_h u(x) \approx u(x-h_1)\ell''_1(x) + u(x) \ell_2''(x) + u(x+h_2)\ell''_3(x),$

Dabei sind die Lagrange-Polynome, die den Knoten entsprechen. Berechnung der Derivatausbeuten $\ell_j=\Pi_{i\neq j}(x-x_i)/(x_j-x_i)$

D_{h}^{2} u (x) = \frac{2}{h_{1} (h_{1} + h_{2})} u (x - h_{1}) - \frac{2}{h_{1} h_{2}} u (x) + \frac{2}{h_{2} (h_{1} + h_{2})} u (x + h_{2})

$D^2_h u(x) = \frac{2}{h_1(h_1+h_2)} u(x-h_1) - \frac{2}{h_1h_2} u(x) + \frac{2}{h_2(h_1+h_2)} u(x+h_2)$

wie behauptet. (Sie können auch die Newton-Form des interpolierenden Polynoms verwenden, was die Berechnung der Ableitungen vereinfacht, insbesondere für höhere Ordnungen.) Wenn Sie dasselbe in tun und die Schablonen summieren, erhalten Sie Gleichung (4.8.7). $y$

Detailliertere Beispiele finden Sie in Randy LeVeques Finite-Differenzen-Methoden für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen (z. B. Seite 9) oder in diesem Blog-Beitrag (der auch NumPy-Code zur Berechnung der Koeffizienten enthält, denen willkürlich und ). Dies wird auch in Morton und Mayers, Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen , Abschnitt 3.4, ausführlich behandelt . $h_1$ $h_2$

Wie Sie die Randknoten behandeln, hängt von Ihren Randbedingungen ab. Unter Dirichlet-Bedingungen verfahren Sie wie bei einem einheitlichen Netz. Für Neumann-Bedingungen verwenden Sie den obigen Ansatz (ungleichmäßige Interpolation - jetzt gleichzeitig in und - und Differenzierung), um die normale Ableitung am Grenzknoten zu approximieren und eine lokale Schablone zu erhalten. siehe Morton und Mayers, Seite 75ff. $x$ $y$

— Christian Clason
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Wenn wir durch nur ersetzen dann ist . Aber wird unter Verwendung endlicher Differenzen abgeleitet, dh Taylor-Reihen. Können Sie bitte klarstellen, wie die Lagrange-Interpolation mit Taylor-Reihen / endlichen Differenzen zusammenfallen kann?

h_{1}, h_{2}

$h_1, h_2$

h

$h$

D_{h} = Δ_{h}

$D_h = \Delta_h$

Δ_{h}

$\Delta_h$

— Sequenz

In der Folge kann man Näherungen endlicher Differenzen als Ableitungen des Interpolationspolynoms ableiten, das unter Verwendung der Knoten der Schablone konstruiert wurde. Sie nehmen also die Punkte der Schablone, die Sie verwenden möchten, konstruieren das Lagrange-Polynom und differenzieren es, um die Formel für die Approximation der gewünschten Ableitung abzuleiten.

— VorKir

@VorKir Es ist jedoch bemerkenswert, dass diese Näherungen mit den Näherungen der Taylor-Reihe übereinstimmen.

— Sequenz

@sequence Nicht wirklich, da eine Taylor-Näherung eine lineare (quadratische usw.) Polynomnäherung an eine Funktion an einem Punkt ist, ebenso wie das interpolierende Polynom. Nach dem Grundsatz der Algebra müssen diese gleich sein. (Wenn Sie immer noch skeptisch sind, denken Sie daran, dass die Punkte für die Schablone nicht zufällig ausgewählt werden.)

— Christian Clason

@ChristianClason Danke für die Klarstellung. In der Tat hatte ich der Tatsache, dass beide Näherungen Polynome sind, die eindeutig sein müssen, und damit der Anwendbarkeit des Grundsatzes der Algebra keine besondere Aufmerksamkeit geschenkt.

— Sequenz