Mesh Independence Study: Ist das Independent Mesh wirklich das beste?

Ich führe eine Netzunabhängigkeitsstudie durch. Ich beginne mit Netz 1 und gehe zu Netz 4 über , wobei ich jedes Mal die Anzahl der Zellen im Netz verdopple. Parallel dazu vergleiche ich meine Berechnungsergebnisse mit experimentellen Daten. M. 1 zeigt schlechte Ergebnisse. M. 2 zeigt eine signifikante Verbesserung und eine gute Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen. M. 3 und M. 4 liefern identische Ergebnisse, die sich nur geringfügig von M. 2 unterscheiden . Es erscheint dann sinnvoll, M. 3 als mein letztes Netz zu wählen . Aber es scheint, dass die Ergebnisse zu glatt sind und einige der feinen Details von M. 2 verlieren (und in den Experimenten beobachtet).

Kann es tatsächlich eine Art Überkorrektur geben ? Könnte es sein, dass die netzunabhängige Lösung nicht unbedingt die beste ist?

Nein. Da die Maschengröße , konvergiert die Lösung auf einem gegebenen Netz zur Lösung der Differentialgleichung (unter der Annahme einer gut gestellten PDE und einer geeigneten Diskretisierung). Wenn Ihre diskrete Lösung für M2 näher an den experimentellen Ergebnissen liegt als die für M3 oder M4, gibt es folglich nur zwei Möglichkeiten:$h\rightarrow 0$

• Die Differentialgleichung beschreibt die reale Welt nicht angemessen, da ihre Lösung nicht nahe an dem liegt, was Sie gemessen haben.
• Ihre Messdaten sind nicht korrekt.

Im Wesentlichen sehen Sie, dass die genaue Lösung der Differentialgleichung (anscheinend gut auf den Maschen M3 und M4 angenähert) nicht mit Ihren Messungen übereinstimmt. Welches falsch ist, müssen Sie jetzt herausfinden.

(All dies wurde unter der Annahme geschrieben, dass Ihr numerisches Schema tatsächlich korrekt ist und daher Ihre numerische Lösung auf feinen Maschen eine gute Annäherung an die genaue Lösung darstellt.)

$U$$u_h$$h$$u_h$u

Nehmen Sie den Modellierungsfehler, das vom Netz unabhängig ist, hat eine konstante Größe , während der numerische Fehler eine Schätzung vom Typ erfüllt , mit . Somit kann der gemessene Fehler als ausgedrückt werden Wenn Sie die Maschengröße, dh reduzieren , gibt es einen Punkt, an dem der numerische Fehler unter den Modellierungsfehler fällt und sich die Unterschiede zur tatsächlichen Lösung nicht mehr ändern.C m ‖ u m - u h ‖ < C h h p p ∈ N ‖ U - u h ‖ ≈ C m + C h h p . h → $\| U - u_m\|$$C_m$$\|u_m - u_h\| < C_h h^p$$p\in \mathbb N$

Zu diesem Zeitpunkt wird Ihre Lösung als netzunabhängig bezeichnet, da der Modellierungsfehler den numerischen Fehler dominiert.

Daher ist Ihre Beobachtung wahrscheinlich auf eine glückliche Stornierung von Fehlern zurückzuführen. Aber ich würde dies nicht in Anspruch nehmen, da ich keine mathematische Rechtfertigung für die Verwendung gröberer Diskretisierungen sehe, es sei denn, man ist mit Instabilitäten konfrontiert.

Ich würde lieber einen Umbau in Betracht ziehen ...