Druck als Lagrange-Multiplikator

In den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen Der Druckbegriff wird oft als Lagrange-Multiplikator bezeichnet, der die Inkompressibilitätsbedingung.

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$

Inwiefern ist das wahr? Gibt es eine Formulierung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen als Optimierungsproblem, das der Inkompressibilitätsbeschränkung unterliegt? Wenn ja, gibt es ein numerisches Analogon, in dem die Gleichungen des inkompressiblen Flüssigkeitsflusses innerhalb eines Optimierungsrahmens gelöst werden?

— Ben
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Dies ist am einfachsten zu erkennen, wenn man die stationären Stokes-Gleichungen betrachtet was dem Problem Wenn Sie den Lagrangian und dann die Optimalitätsbedingungen dieser Optimierungsprobleme aufschreiben, werden Sie feststellen, dass der Druck tatsächlich der Lagrange-Multiplikator ist.

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

\underset{u}{Mindest} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) damit \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Diese Äquivalenz zwischen Problemen wird in keinem numerischen Schema (das ich kenne) ausgenutzt, aber es ist ein wichtiges Werkzeug in der Analyse, weil es zeigt, dass die Stokes-Gleichungen im Wesentlichen die Poisson-Gleichung in einem linearen Unterraum sind. Dasselbe gilt für die zeitabhängigen Stokes-Gleichungen (die der Wärmegleichung im Unterraum entsprechen) und kann auf die Navier-Stokes-Gleichungen erweitert werden.

— Wolfgang Bangerth
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Vielen Dank für eine tolle Antwort. Wissen Sie, ob diese Formulierung auf den zeitabhängigen Fall ausgedehnt werden kann?

— Ben

Ja, wie ich schon sagte, es führt zu einer Wärmegleichung im Subraum der divergenzfreien Funktionen.

— Wolfgang Bangerth

Entschuldigung, ich hätte klarer sein sollen. Gibt es eine Möglichkeit, die zeitabhängigen Stokes-Gleichungen (oder Navier-Stokes-Gleichungen) als Optimierungsproblem, möglicherweise einer über die Zeit integrierten Funktion, neu zu formulieren?

— Ben

Nicht als Optimierungsproblem - die Lösung der Wärmegleichung minimiert nichts (obwohl es der stationäre Punkt einer Lagrange-Funktion ist). Sie können die Stokes-Gleichungen jedoch wie folgt formulieren: Suchen Sie sodass für alle vorbehaltlich der Einschränkung, dass . Beachten Sie, dass ich den Testraum kleiner als den Versuchsraum gewählt habe und daher die linke und rechte Seite der Variationsgleichung nicht gleich sind. Der Unterschied ist der Druck.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Wolfgang Bangerth