Kann die Advektionsgleichung mit variabler Geschwindigkeit konservativ sein?

Ich versuche die Advektionsgleichung mit variablem Geschwindigkeitskoeffizienten etwas besser zu verstehen. Insbesondere verstehe ich nicht, wie die Gleichung konservativ sein kann.

Die Advektionsgleichung ,

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (v u) = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$

Interpretieren wir als die Konzentration einiger physikalischer Spezies ( ) oder einer anderen physikalischen Größe, die nicht erzeugt oder zerstört werden kann. Wenn wir über unsere Domäne integrieren, sollten wir konstant werden, $u(x,t)$ $cm^{-3}$ $u(x,t)$

\int_{x_{min}}^{x_{max}} u (x, t) d x = constant

$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$

(Das meine ich mit konservativ sein.)

Wenn wir nun die Geschwindigkeit eine Funktion von Raum (und Zeit) sein lassen, , dann muss die Kettenregel angewendet werden, um zu geben, $\boldsymbol{v}(x,t)$

\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} + \underset{?}{\underset{⏟}{u \frac{\partial v}{\partial x}}} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$

Der letzte Begriff "sieht" aus wie ein Quellbegriff und das finde ich verwirrend. Es erhöht oder verringert die Größe Abhängigkeit von der Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes. $u$

Nach dieser Frage verstehe ich, wie man Erhaltungsgrenzbedingungen auferlegt. Für die Advektionsgleichung mit variabler Geschwindigkeit verstehe ich jedoch nicht, wie Erhaltungsgrenzbedingungen aufgrund des zusätzlichen "Quellterms" abgeleitet werden können, der durch Anwendung der Kettenregel eingeführt wird. Kann diese Gleichung konservativ sein? Wenn ja, wie können korrekte Randbedingungen angewendet werden?

advection conservation

— Boyfarrell
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Die grundlegende Transportmenge in das Flussmittel , für Advektion. Der Divergenzsatz besagt, dass $\mathbf v u$

\int_{Ω} \nabla \cdot (v u) = \int_{\partial Ω} (v u) \cdot n .

$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$

Eine Gleichung ist konservativ, wenn sie diese Gleichheit bewahrt. wir mit auf 1D fallen und die Gleichung , haben wir $\Omega = (a,b)$ $u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

(\int_{a}^{b} u)_{t} = \int_{a}^{b} u_{t} = - \int_{a}^{b} (v u)_{x} = - v u |_{a}^{b}

$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$

Dabei ist der Begriff rechts nur der Unterschied im Fluss zwischen der linken und der rechten Grenze.

In Bezug auf Ihre zweite Beobachtung ist die nicht konservative (nicht divergierende) Form irreführend (und nur für reibungslose Lösungen gerechtfertigt). Das Produkt ist kein konservativer Transport, wenn nicht divergenzfrei ist (dh konstant in 1D). Sie sollten sich an die konservative Form halten und dem Drang widerstehen, die Kettenregel bei der Bewertung der Konservierungseigenschaften anzuwenden. $\mathbf v \cdot \nabla u$ $\mathbf v$

— Jed Brown
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Vielen Dank für eine wirklich klare Antwort, noch einmal, Jed! Ich denke, ich werde eine Folgefrage dazu stellen, muss aber zuerst versuchen, Ihren Vorschlag umzusetzen.

— Boyfarrell