Wird das Maximum / Minimum-Prinzip der Wärmegleichung durch die Crank-Nicolson-Diskretisierung aufrechterhalten?

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Ich verwende das Crank-Nicolson-Finite-Differenzen-Schema, um eine 1D-Wärmegleichung zu lösen. Ich frage mich, ob das Maximum / Minimum-Prinzip der Wärmegleichung (dh das Maximum / Minimum tritt im Anfangszustand oder an den Grenzen auf) auch für die diskretisierte Lösung gilt.

Dies wird wahrscheinlich durch die Tatsache impliziert, dass Crank-Nicolson ein stabiles und konvergentes Schema ist. Es scheint jedoch, dass Sie dies möglicherweise direkt über ein lineares Algebra-Argument unter Verwendung der aus der Crank-Nicolson-Schablone erstellten Matrizen beweisen können.

Ich würde mich über Hinweise auf Literatur zu diesem Thema freuen. Vielen Dank.

— Foobarbaz
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Hallo foobarbaz, und willkommen bei scicomp! Ich gehe davon aus, dass das Problem, das Sie lösen, keine Quellbegriffe enthält, richtig?

— Paul

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Das Maximalprinzip für Crank-Nicolson gilt, wenn für Zeitschrittund Gitterabstand. Im Allgemeinen können wir einSchema der Form

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

wobei

die Standard-Laplace-Matrix ist und

. Wenn

u^{n + 1} = u^{n} + \frac{μ}{2} ((1 - θ) A u^{n} + θ A u^{n + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

, dann ist das Schema stabil. (Dies kann leicht durch Fourier-Techniken gezeigt werden.) Das stärkere Kriterium ist jedoch, dass

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

wird benötigt, damit das Maximalprinzip im Allgemeinen gilt.

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

Einen Beweis finden Sie unter Numerische Lösungen partieller Differentialgleichungen von KW Morton . Schauen Sie sich insbesondere die Abschnitte 2.10 und 2.11 sowie Satz 2.2 an.

Es gibt auch eine gute Möglichkeit zu sehen, dass das Maximalprinzip für Crank-Nicolson ohne Einschränkung von im Allgemeinen nicht gilt . $\mu$

Betrachten Sie die Wärmegleichung auf mit einer Diskretisierung, die 3 Punkte einschließlich der Grenze enthält. Es sei die Diskretisierung im Zeitschritt und am Gitterpunkt . Nehmen Sie die Dirichlet-Grenze an, so dass für alle . Dann reduziert sich Crank-Nicolson auf $[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$ das weiter aufreduziert werden kann

(1 - \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n + 1} = (1 + \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

u_{1}^{n + 1} = (\frac{1 - μ}{1 + μ}) u_{1}^{n} .

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

Wenn wir die Anfangsbedingung von , dann haben wir $u_1^0 = 1$

u_{1}^{n} = {(\frac{1 - μ}{1 + μ})}^{n},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

Als Antwort auf die Bitte von foobarbaz habe ich eine Skizze des Beweises hinzugefügt.

Der Schlüssel besteht darin, das Schema in der Form zu schreiben

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & = θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

$\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

$u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & > θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \\ = (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

$u^{n+1}_j$ $u$

— Ben
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Vielen Dank! Kennen Sie neben Morton zufällig eine andere Referenz? Ich kann in der Google-Buchvorschau nicht auf diese Abschnitte oder den Satz zugreifen. Ich würde den Beweis gerne verstehen.

— Foobarbaz

@foobarbaz Ich habe keine weitere Referenz zur Hand, aber ich habe einen Überblick über den Beweis hinzugefügt. Lassen Sie mich wissen, ob ich es klarer machen kann.

— Ben

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Stabilität bedeutet, dass eine Störung zeitlich begrenzt bleibt. Das bedeutet nicht, dass das Maximalprinzip auf diskreter Ebene erfüllt ist, das ist ein anderes Thema. Die Erfüllung des diskreten Maximalprinzips ist ausreichend, aber für die Stabilität nicht erforderlich.

— chris
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