Gibt es numerische Vorteile beim Lösen einer symmetrischen Matrix im Vergleich zu Matrizen ohne Symmetrie?

Ich wende die Finite-Differenzen-Methode auf ein System von 3 gekoppelten Gleichungen an. Zwei der Gleichungen sind nicht gekoppelt, jedoch koppelt die dritte Gleichung mit den beiden anderen Gleichungen. Ich habe festgestellt, dass durch Ändern der Reihenfolge der Gleichungen, beispielsweise von zu , die Koeffizientenmatrix symmetrisch wird. $(x, y, z)$ $(x, z, y)$

Gibt es einen Vorteil dabei? Zum Beispiel in Bezug auf Stabilität oder Effizienz / Geschwindigkeit der Lösung. Die Matrizen sind sehr dünn, wenn das wichtig ist, liegen die Nicht-Null-Terme entlang der zentralen Diagonalen.

finite-difference symmetry

— Boyfarrell
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Ja, das Lösen eines symmetrischen Systems erfordert viel weniger Aufwand als das Lösen eines unsymmetrischen Systems. Wenn Sie außerdem zeigen können, dass Ihre Koeffizientenmatrix positiv definit ist, sind Sie an einem guten Ort.

— JM

Absolut!

Zunächst einmal sind einige lineare Algebra-Systeme intelligent genug, um nur die Hälfte der Matrix zu speichern. Dies könnte Ihnen viel Speicherplatz sparen. Aber selbst wenn dies nicht der Fall ist, nutzen verschiedene Algorithmen in der numerischen linearen Algebra die Symmetrie aus.

Beispielsweise wird bei einer symmetrischen Matrix jeder Eigensolver sofort wissen, dass alle Eigenwerte reelle Werte sind, und die Lösungsmethode kann diese Tatsache verwenden.

$Ax=b$

$A=LU$ $L$ $U$ $A$ $A=LL^T$

— Nico Schlömer
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"... und die Lösungsmethode kann diese Tatsache nutzen, indem sie beispielsweise Rundungsfehler im Imaginärteil während der Berechnung abschneidet." - Eher wie die Computerumgebung eine Methode verwendet, die die Symmetrie ausnutzt und garantiert echte Ergebnisse liefert.

— JM