Rolle der Randbedingungen (z. B. periodisch) in der Poisson-Gleichung

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Wenn die 3D-Poisson-Gleichung

\nabla^{2} ϕ (x, y, z) = f (x, y, z)

$\nabla^2 \phi(x, y, z) = f(x, y, z)$ und die rechte Seite und die Domäne gegeben sind, kann ich der Funktion

Randbedingungen (BC) auferlegen

ϕ

$\phi$ oder tun müssen sie irgendwie mit der rechten Seite übereinstimmen? Insbesondere wenn ich periodische BC auferlege, gibt es genau eine Lösung für eine rechte Seite?

Zum Beispiel sei:

f (x, y, z) = - 3 π^{2} \sin (π x) \sin (π y) \sin (π z)

$f(x, y, z) = - 3 \pi^{2} \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}$ und ich löse auf einer Box

(0, 1) \times (0, 1) \times (0, 1)

$(0, 1)\times (0, 1) \times (0, 1)$ . Jetzt muss jede Lösung eine Summe von

ϕ_{0} + ϕ_{1}

$\phi_0+\phi_1$ wobei:

ϕ_{0} (x, y, z) = \sin (π x) \sin (π y) \sin (π z),

$\phi_0(x, y, z) = \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}\,,$ weil

\nabla^{2} ϕ_{0} = f

$\nabla^2\phi_0 = f$ ist und

ϕ_{1}

$\phi_1$ eine beliebigeharmonische Funktion ist(dh

\nabla^{2} ϕ_{1} = 0

$\nabla^2\phi_1 = 0$ ). Richtig?

Wenn ich Dirichlet BC Null auferlege, ist $\phi_0$ die einzige Lösung, da es das BC erfüllt, die Gleichung erfüllt und die Lösung eindeutig sein muss. Richtig?

$\phi_1$ $\phi_0+\phi_1$ $\phi_1$

pde boundary-conditions elliptic-pde

— Ondřej Čertík
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Technisch ist diese Frage eher für math.SE geeignet.

— David Ketcheson

Ich habe es in der Frage nicht explizit erwähnt, aber ich gehe implizit im Kontext eines auf finiten Elementen basierenden numerischen Lösers davon aus (deshalb interessiert mich die Antwort), aber die Frage selbst ist in der Tat allgemein.

— Ondřej Čertík

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Aus numerischer Sicht ist es vielleicht am einfachsten, die Diskretisierungen direkt zu diskutieren.

$Ax = b$ $A$ $b$ $f$ $A$ $b$ $f$

$f$ $f$ $f$

$K$ $x \equiv C$ $C$

$A$ $\operatorname{Range} A = K^\perp$ $Ax = b$ $\mathbf{1} \cdot b = 0$ $\mathbf{1}$

$\phi \in C^2(\Omega)$ $\Omega$

\int_{Ω} Δ ϕ d x = \int_{\partial Ω} \frac{\partial ϕ}{\partial n} d S .

$\int_\Omega \Delta \phi \, dx = \int_{\partial \Omega} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{n}}\, dS.$

ϕ

$\phi$

\int_{Ω} Δ ϕ d x = 0.

$\int_\Omega \Delta\phi\, dx = 0.$

ϕ

$\phi$

Δ ϕ = f

$\Delta \phi = f$

\int_{Ω} f d x = 0.

$\int_\Omega f\, dx = 0.$

1 \cdot b = 0

$\mathbf{1} \cdot b = 0$

f

$f$

b

$b$

— Ben
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John, vielen Dank für diese erstaunliche Antwort! Es bietet einen klaren Einblick in die Funktionsweise. Ich hatte das Gefühl, dass es einen Haken für den periodischen Zustand gibt, konnte aber keinen Finger darauf zeigen. Danke noch einmal.

— Ondřej Čertík

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\nabla^{2} ϕ = f

$\nabla^2\phi =f$

f = (- ρ / ε o)

$f=(-ρ/εo)$

Aussage: Für die periodische Lösung setzt die Bedingung ∫ρdv = 0 (oben von Ben beschrieben) das System auf netzneutral. Dies ist eine gute (physikalische) Möglichkeit, über den Durchschnittswert von f über die periodische Box nachzudenken.

Testen wir nun diese Aussage. Für periodische Randbedingungen muss das Integral des elektrischen Feldes über der Oberfläche der Box Null sein (Sie können immer Punktepaare auf der Boxoberfläche finden, die sich im Integral gegenseitig aufheben).

Dann sollte nach dem Divergenzsatz (Gauß-Gesetz) die Box neutral sein, und das wollen wir beweisen.

\oint_{S} E_{n} d A = \frac{1}{ε_{0}} Q_{i n s i d e} = 0

$\oint_S {E_n dA = \frac{1}{{\varepsilon _0 }}} Q_{inside} =0$

Ein bisschen Physik hier, aber ich denke, es ist eine schöne Verstärkung für die Diskussion hier.

— Ajay Muralidharan
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Seien Sie vorsichtig, wenn Sie ein Verfahren zur Herstellung von Lösungen für die Poisson-Gleichung erstellen. Da die Definition des Quellterms sowohl die starke Form der PDE als auch die schwache Form der PDE erfüllen muss. Die oben angegebene Ableitung verwendet grundsätzlich die schwache Form der PDE. Mit anderen Worten, es gibt eine Beziehung zwischen dem Gradienten der Lösung an der Grenze und dem Quellterm Integral in der Domäne.

— Hasbestein
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