Gut gestelltheit eines linearen Elastizitätsproblems mit periodischen Randbedingungen

Für bestimmte Anwendungen, wie z. B. stationäre Wärmeübertragung und Strömung in porösen Medien, ist es möglich, eine viel größere (unendliche) Domäne zu simulieren, indem periodische Randbedingungen an gegenüberliegenden Grenzflächen und Dirichlet-bc an den verbleibenden Grenzen auferlegt werden. Für eine rechteckige 2D-Domäne kann der periodische Zustand so interpretiert werden, als ob die Domäne auf der Oberfläche eines Zylinders liegt.

Ich bin gespannt, ob dies auch für Elastizitätsprobleme gilt. Ich habe festgestellt, dass Standardprobleme der linearen Elastizität auf endliche Domänen beschränkt sind, und ich habe noch nie ein Beispiel gesehen, in dem eine periodische Randbedingung vorgeschrieben oder implementiert ist. Ich vermute, dass es aufgrund der durch Periodizität verursachten Bewegung des starren Körpers (Translation und / oder Rotation) Probleme mit der Eindeutigkeit von Lösungen für dieses Problem geben kann.

Nehmen wir der Einfachheit halber den Fall der linearen isotropen planaren Elastizität in einer rechteckigen 2D-Domäne an. Angenommen, ich möchte ein großes (periodisches) Medium modellieren, indem ich Bedingungen mit fester Verschiebung (Dirichlet) an zwei entgegengesetzten Grenzen und Bedingungen mit periodischer Verschiebung an den verbleibenden Grenzen verwende.

Ist dieses Problem gut gestellt? Wenn nicht, gibt es Strategien (z. B. zusätzliche Einschränkungen), mit denen ich es gut positionieren kann, da ich weiß, dass mein letztendliches Ziel darin besteht, ein viel größeres (unendliches) Medium mit sich wiederholenden Materialeigenschaften zu simulieren?

Das Beispiel, das Sie geben, ist gut gestellt. Korns Ungleichung gilt, wenn die Teilmenge, auf der die Verschiebung festgelegt ist, eine offene (in der Topologie der Grenze) Teilmenge der Grenze enthält, was in Ihrem Fall zutrifft.

Der einfache Test lautet: Wenn Sie einen starren Körper an Ihrer Dirichlet-Grenze fixieren, kann er trotzdem bewegt werden. Wenn Sie beispielsweise einen Punkt in zwei Dimensionen fixieren, kann sich Ihr Objekt um ihn drehen. Wenn Sie einen Punkt oder eine Linie in drei Dimensionen fixieren, ist dies dasselbe.

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