großes dichtes niedriges Rangzuordnungsproblem

$\max_\pi \sum_i A_{\pi i,i}$ $\pi$ $1:n$

Hier ist eine Matrix mit niedrigem Rang . Typische Größen wären (möglicherweise viel größer), . $A$ $n\times n$ $r$ $n=10000~~$ $r=15$

optimization

— Arnold Neumaier
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Mit meine ich das Produkt, so dass Sie für verschiedene durch die Matrix schreiten ?

π i

$\pi i$

π

$\pi$

— Bill Barth

π

$\pi$ läuft über alle Permutationen.

— Arnold Neumaier

Sollte es dann nicht ?

A_{π (i), i}

$A_{\pi(i),i}$

— Jack Poulson

@JackPoulson: und sind zwei verschiedene Notationen für das Bild von unter der Permutation .

\i (i)

$\i(i)$

π i

$\pi i$

i

$i$

π

$\pi$

— Arnold Neumaier

Interessante Frage! Möchten Sie die niedrigrangige Struktur nur aus Speichergründen ausnutzen , um nicht die gesamte Matrix bilden zu müssen, wenn Sie einen herkömmlichen Zuweisungsalgorithmus anwenden? Oder suchen Sie nach einer Möglichkeit, den niedrigen Rang auszunutzen, um die Suche zu beschleunigen?

— Michael Grant

Da mit , haben wir wobei die Permutationsmatrix ist, die . $A=R_1R_2^T$ $R_1, R_2\in \mathbb{R}^{n \times r}$

\sum_{i} A_{π i, i} = \sum_{i} (P_{π} A)_{i, i} = trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T})

$\sum_i A_{\pi i, i} = \sum_i (P_{\pi} A)_{i, i} = \text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T)$

P_{π}

$P_{\pi}$

π

$\pi$

Für jedes kann die Ablaufverfolgung als berechnet werden (Diese Menge ist auch bekannt als Frobenius Produkt , ). $\pi$

trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T}) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{π} R_{1})_{i, k} (R_{2}^{T})_{k, i} = \sum_{i, k} ((P_{π} R_{1}) \circ R_{2})_{i, k} .

$\text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{\pi}R_1)_{i,k} (R_2^T)_{k,i} = \sum_{i,k} ((P_{\pi}R_1)\circ R_2)_{i,k}.$

P_{π} R_{1} : R_{2}

$P_{\pi}R_1:R_2$

Diese Idee ersetzt nicht die Last, weg für das Maximum aller Frobenius Produkte alle Permutationen und Brute-Force-Methode durchlaufen, und in der Tat ist die gleiche arithmetische Komplexität wie explizit die Berechnung . Es hat jedoch viel weniger Speicherbedarf, da Sie nie wirklich bilden müssen . $A=R_1R_2^T$ $A$

— Nico Schlömer
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