Diagonale Aktualisierung einer symmetrischen Positiv-Definitiv-Matrix

ist einespärliche Matrix mit symmetrischen positiv definierten (SPD) Werten. ist eine spärliche Diagonalmatrix. ist groß ( > 10000) und die Anzahl der Nichtzeros im beträgt normalerweise 100 ~ 1000. $A$ $n \times n$ $G$ $n$ $n$ $G$

wurde in der Cholesky-Form als faktorisiert. $A$ $LDL^T$

Wie können und effizient aktualisiert werden, wenn zu ? $L$ $D$ $A$ $A+G$

linear-algebra

Hat G nur positive Elemente? In diesem Fall handelt es sich um eine unbedeutende Obergrenze: Betrachten Sie das diagonale Update als Summe der Rang-1-Updates. Es gibt O (n ^ 2) Methoden, um die LDL ^ t-Faktorisierung eines Rank-One-Updates zu berechnen (die Google-Suche liefert Beispiele). Dann wird Ihre diagonale Aktualisierung in O (rn ^ 2) ausgeführt, wobei r die Anzahl der diagonalen Elemente ungleich Null von G ist. Angesichts der besonderen Art dieser Aktualisierungen gibt es Verknüpfungen zum Speichern einiger Berechnungen, aber es ist nicht klar, ob dies möglich ist Reduzieren Sie die Reihenfolge unter O (rn ^ 2).

Ich stimme zu - ich glaube nicht, dass es eine Möglichkeit gibt, diagonale Aktualisierungen einer Cholesky-Faktorisierung schneller durchzuführen, als nur die Faktorisierung zu wiederholen, aber Aktualisierungen der ersten Stufe können in

-Zeit durchgeführt werden, und Sie müssen nur eine für jede durchführen ungleich Null auf den diagonalen von

O (m^{2})

$O(m^2)$

G

$G$

— Brian Borchers

Für

und

zu Hunderten ist es schwer, Refactoring

zu übertreffen . Wenn die Größe von

viel größer wird und

sehr dünn ist, könnte es sich auszahlen. In jedem Fall werden die möglichen Aktualisierungen und Annäherungen ausführlich behandelt. Können diagonale und festsymmetrische lineare Systeme nach der Vorberechnung in quadratischer Zeit gelöst werden? .

n \sim 10^{4}

$n \sim 10^4$

n n z (G)

$\mathrm{nnz}(G)$

A

$A$

A

$A$

G

$G$

— Jed Brown

Jed, ich denke, Sie sollten Ihren Kommentar zu einer Antwort hier fördern.

— Michael Grant

$LDL^T$

$nnz(G)$

$O(nnz(G)*nnz(L))$ $nnz(L)$ $A$

Das Paket kann hier heruntergeladen werden

Im Folgenden sind einige Anmerkungen des Paketinhabers (Prof. Tim Davis) aufgeführt:

API:

LD = ldlrowmod (LD, k) löscht Zeile / Spalte k, indem A (:, k) und A (k, :) auf die k-te Zeile / Spalte der Identität gesetzt werden.

LD = ldlrowmod (LD, k, C) ersetzt die k-te Zeile / Spalte von A (die die k-te Zeile / Spalte der Identität sein muss) durch die dünn besetzte Spalte C.

Komplexität:

$O(nnz(L))$ $nnz(L)$ $O(n)$ $O(n)$

Reduzierende Permutation füllen:

$LDL^T$ $LDL^T$ $PAP^T$ $L$

— Yuval Atzmon
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