Fourier-Transformation für Neumann-Randbedingung

Ich muss das System zweier gekoppelter partieller Differentialgleichungen numerisch lösen.

\begin{aligned} \frac{\partial x_{1}}{\partial t} & = c_{1} \nabla^{2} x_{1} + f_{1} (x_{1}, x_{2}) \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial t} & = c_{2} \nabla^{2} x_{2} + K \frac{\partial x_{1}}{\partial t} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial x_1}{\partial t} &= c_1\nabla ^2 x_1 + f_1(x_1,x_2)\\ \frac{\partial x_2}{\partial t} &= c_2\nabla ^2 x_2 + K\frac{\partial x_1}{\partial t} \end{align}$

Die Domäne des Systems ist eine quadratische Region.

Randbedingung:

\begin{aligned} x & = constant ⟹ \frac{\partial x_{1}}{\partial x} = \frac{\partial x_{2}}{\partial x} = 0 \\ y & = constant ⟹ \frac{\partial x_{1}}{\partial y} = \frac{\partial x_{2}}{\partial y} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} x &= \text{constant} \implies \frac{\partial x_1}{\partial x} = \frac{\partial x_2}{\partial x} = 0\\ y &= \text{constant} \implies \frac{\partial x_1}{\partial y} = \frac{\partial x_2}{\partial y} = 0 \end{align}$

Ich habe versucht, dieses System mit Fourier-Transformation zu lösen. Die Lösung wird nach wenigen Iterationen instabil. Ich habe dieses System früher mit einem Finite-Differenzen-Schema gelöst und es hat gut funktioniert, daher weiß ich, dass die Konstanten des Systems vollkommen in Ordnung sind.

Meine Frage ist, ob die Fourier-Transformation zur Lösung dieser Gleichungen verwendet werden kann.
Ich habe irgendwo gelesen, dass man wegen der Neumann-Randbedingung keine Fourier-Transformation anwenden kann. Ist das richtig?
Wenn ja, was ist eine Alternative? (Ich habe gelesen, dass die Cosinustransformation verwendet werden sollte, möchte dies aber bestätigen).

pde fourier-analysis

— chatur
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f_{1} (x_{1}, x_{2})

$f_1(x_1,x_2)$

f_{1}

$f_1$

f_{1} (x_{1}, x_{2}) = P (x_{1}) a r c t a n (x_{2})

$f_1(x_1,x_2) = P(x_1)arctan(x_2)$

f_{1}

$f_1$

P

$P$

@aberration, Danke für den Kommentar, aber verstehe nicht, was es bedeutet. Wahrscheinlich sollte ich FFT gründlicher studieren. Aber wenn ich das System in allen Änderungen löse, sind die Änderungen nur (ungefähr) auf den Mittelteil beschränkt, so dass die Werte an der Grenze nicht beeinflusst werden. Kann ich hier FFT verwenden?

— Chatur

f_{1}

$f_1$

Die FFT kann für periodische Randbedingungen verwendet werden. Da von Neumann-Randbedingungen effektiv "Spiegel" -Randbedingungen sind, müssen Sie eine "gespiegelte Fortsetzung" durchführen, bevor Sie eine FFT anwenden können. Ein Nachteil dieses Ansatzes besteht darin, dass Sie das Datenvolumen um den Faktor 4 erhöhen (was nicht wichtig ist, wenn Sie nur ein wenig experimentieren möchten). Die Verwendung der Cosinustransformation führt implizit die "gespiegelte Fortsetzung" durch und vermeidet den Faktor 4-Overhead.

Beachten Sie, dass es je nachdem, wo sich die Gitterpunkte in der Nähe der Grenze befinden, zwei verschiedene Möglichkeiten gibt, eine "diskrete gespiegelte Fortsetzung" durchzuführen. Daher werden Sie feststellen, dass Bibliotheken wie FFTW verschiedene Varianten der Cosinustransformation anbieten (entsprechend diesen verschiedenen "diskreten gespiegelten Fortsetzungen").

— Thomas Klimpel
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