Algorithmen für das lineare System von ODEs

Ich frage mich: Was ist der beste Algorithmus zu lösen

\frac{d u}{d t} = EIN u

$\begin{equation} \frac{du}{dt} = Au \end{equation}$ Wobei

A

$A$ eine reelle

n \times n

$n\times n$ Matrix ist. A ist nicht explizit zeitabhängig, in der Regel spärlich, aber nicht unbedingt gebändert. Ihre Eigenwerte haben nicht positive Realteile. A ist ebenfalls diagonalisierbar, kann jedoch zu groß sein, als dass eine vollständige Diagonalisierung rechnerisch effizient wäre.

Es gibt die implizite Trapezregel, die ich gut erlebt habe.

(ich - \frac{Δ t}{2} EIN) u_{n + 1} = (ich + \frac{Δ t}{2} EIN) u_{n}

$\begin{equation} \left(I-\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n+1} = \left(I+\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n} \end{equation}$

Was ist mit expliziten Methoden oder Pade-Approximanten? Wie ändert sich dies auch, wenn der RHS ein Forcierungsbegriff hinzugefügt wird?

linear-algebra ode

— Gabriel Landi
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Wir brauchen wirklich mehr Informationen über A. Abhängig von der Position der Eigenwerte kann die Stabilität ein Problem sein, das die Wahl zwischen expliziten oder impliziten Methoden beeinflusst. Es ist auch wichtig, welche Reihenfolge Sie möchten und ob A in der Zeit variiert / mit u, ob Sie einen steifen Löser benötigen. Es gibt nicht genug Informationen, um eine fundierte Antwort zu geben.

— Godric Seer

@GodricSeer Danke Godric. Ich habe einige Annahmen über

hinzugefügt .

A

$A$

— Gabriel Landi

@ GabrielLandi Sie müssen mehr Informationen hinzufügen, um eine bestimmte Antwort zu erhalten. Wie groß ist

? Ist

normal? Sind die Eigenwerte von

real, imaginär oder komplex? Wie groß sind sie (größte und kleinste Größe)?

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— David Ketcheson

Da Ihre Matrix unabhängig von das Ergebnis eine Exponentialmatrix multipliziert mit dem Anfangsvektor. Die Standarddiskussion über relevante Methoden finden Sie unter http://scholar.google.at, indem Sie nach '' Neunzehn zweifelhaften Wegen '' suchen. $u$

Informationen zum Skalierungs- und Quadrierungsalgorithmus (der am wenigsten zweifelhafte) finden Sie auch unter http://blogs.mathworks.com/cleve/2012/07/23/a-balancing-act-for-the-matrix-exponential/

— Arnold Neumaier
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