Beispiel einer stetigen Funktion, die sich mit Polynomen nur schwer approximieren lässt

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Für Unterrichtszwecke würde ich eine stetige Funktion einer einzelnen Variablen benötigen, die mit Polynomen "schwer" zu approximieren ist, dh man würde sehr hohe Potenzen in einer Potenzreihe benötigen, um diese Funktion gut "anzupassen". Ich möchte meinen Schülern die "Grenzen" dessen aufzeigen, was mit Potenzreihen erreicht werden kann.

Ich dachte darüber nach, etwas "lautes" zu basteln, aber anstatt mein eigenes zu rollen, frage ich mich nur, ob es eine Art Standard "schwierige Funktion" gibt, die die Leute zum Testen von Approximations- / Interpolationsalgorithmen verwenden, ähnlich wie die Optimierungs-Testfunktionen , die zahlreiche haben Lokale Minima, bei denen naive Algorithmen leicht hängen bleiben.

Entschuldigung, wenn diese Frage nicht gut formuliert ist; Bitte erbarme dich eines Nicht-Mathematikers.

interpolation

— Laryx Decidua
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Warum nicht einfach die Absolutwertfunktion anzeigen?

Näherung mit zB Legendre-Polynom-Erweiterung funktioniert, aber ziemlich schlecht :

Die Taylor-Expansion ist hier natürlich völlig nutzlos, da sie immer nur eine lineare Funktion liefert, die entweder immer abnimmt oder immer zunimmt (je nachdem, ob der Punkt, um den Sie expandieren, negativ oder positiv ist).

— links herum
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Sie können | x | interpolieren unter Verwendung der Chebyshev-Interpolation, siehe nbviewer.jupyter.org/github/cpraveen/na/blob/master/…, die ziemlich schnell konvergiert. Sie können beispielsweise N = 2 * i im Code in N = 15 + i ändern und einen größeren Testgrad durchführen. Es ist keine Expansionsmethode, sondern basiert immer noch auf Polynomen.

— cpraveen

@PraveenChandrashekar Chebyshev arbeitet "besser", weil es den äußeren Teilen des Intervalls mehr Gewicht gibt, wo die Funktion glatt ist. So wird die übermäßige Schwingung vermieden, aber es ist zweifelhaft, zu behaupten, sie nähere sich der Funktion besser an - sie erfasst insbesondere die scharfe Kurve bei noch schlechter als gleichförmige diskrete Punkte oder -Minimierung. Wenn Sie Hochfrequenzkomponenten vermeiden möchten, sollten Sie eine integrale Transformation verwenden, die diese Komponenten ordnungsgemäß dämpft.

x = 0

$x=0$

L^{2}

$L^2$

— Leftaroundabout

Es ist vollkommen in Ordnung, ungleichmäßige Punkte wie bei der Chebyshev-Interpolation zu haben. Mit einem Abschluss von ungefähr 20 gibt es eine viel genauere Annäherung als Legendre, die Sie in Ihrem Beitrag zeigen. Messen Sie die Fehler quantitativer. Sie können auch die Chebyshev-Reihenapproximation von | x | durchführen Das ist genauer als die Legendre-Erweiterung.

— Cpraveen

@PraveenChandrashekar Der Punkt ist, dass Polynome im Prinzip nicht in der Lage sind, eine Funktion wie anzunähern richtig. Es gibt verschiedene Methoden, von denen jede ein bisschen mehr oder weniger spektakulär versagt, aber keine von ihnen funktioniert gut im Sinne von „nur wenige Begriffe geben etwas, das mit der ursprünglichen Funktion verwechselt werden könnte “. Wenn Sie Polynome verwenden müssen, müssen Sie überlegen, welche Arten von Fehlern problematischer sind. Legendre und Chebyshev haben beide ihre Anwendungsfälle, aber es gibt keine Silberkugel. Letztendlich ist ein Ansatz mit z. B. Splines in der Regel effektiver.

x \mapsto | x |

$x \mapsto |x|$

— Leftaroundabout

Wir wissen, dass es keine perfekte Methode gibt. Die Frage ist, welche Funktionen für Polynome schwierig zu approximieren sind. Man muss also alle möglichen Methoden sehen, die Polynome beinhalten, um zu dem Schluss zu kommen, dass keine von ihnen gute Arbeit leistet. Die Legende ist nicht der beste Weg, um sich | x | anzunähern und daher gibt es einen ziemlich falschen Eindruck, dass Polynome für | x | zu schlecht sind. Mit Chebyshev haben Sie Konvergenz und weitaus bessere Approximationen als mit Legendre, sie schwingen nicht so stark wie mit Legendre, obwohl sie langsam in der Nähe von x = 0 konvergieren, wo die Funktion nicht glatt genug ist.

— cpraveen

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Es ist ein pathologischer Fall, aber Sie können immer auf die Weierstraß-Monsterfunktion zurückgreifen . Es wird ein weiter gefasster Punkt veranschaulicht, nämlich, dass nicht glatte Funktionen - z. B. mit einem Knick - schwer zu approximieren sind, da die Interpolationsfehlerschätzungen erfordern, dass die Funktion mehrmals differenzierbar ist. Mit anderen Worten, wenn Sie die Weierstrass-Funktion nicht zu sehr mögen, können Sie immer einfach wählen . $|x|$

— Wolfgang Bangerth
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Danke, das ist genau das, was ich unter "Ich habe über etwas 'lautes' nachgedacht" verstanden habe. Sehr gutes Beispiel IMO.

— Laryx Decidua

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Die Approximation wird nicht nur durch die zu approximierende Funktion erschwert, sondern auch durch das Intervall, in dem die Approximation "gut passen" soll. Und Sie sollten das Maß für eine "gute Anpassung" definieren, dh was ist der maximale (absolute oder relative) Fehler, den Sie tolerieren möchten?

$\exp(x)$ $[0,10]$ $\sin(x)$ $[0,2\pi]$

— GertVdE
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Ich zeige solche Beispiele in meinem Kurs, um zu verdeutlichen, dass die Taylor-Expansion keine gute Methode zur Approximation von Funktionen ist.

— Cpraveen

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Polynome sind bei der Funktionsnäherung überraschend effektiv [1]. Wenn Sie mindestens eine Lipschitz-Kontinuität haben, konvergieren die Chebyshev-Annäherungen. Natürlich kann die Konvergenz langsam sein, und das ist der Preis, den wir für den Umgang mit einer nicht glatten Funktion zahlen.

Heutzutage sind Computer viel schneller als die Tage, an denen viele Bücher zur numerischen Analyse geschrieben wurden, und clevere Algorithmen haben die Geschwindigkeit weiter erhöht, so dass die Verwendung von mehr Begriffen möglicherweise nicht mehr so schlecht ist wie früher.

Die pathologischen Beispiele wie die Weierstraß-Monsterfunktion sind vom theoretischen Standpunkt aus interessant, aber sie sind nicht repräsentativ für die meisten realen Anwendungszusammenhänge.

$|x|$ $x=0$

Es ist wichtig, die Schwierigkeiten bei der Approximation mit Polynomen zu lehren, aber es ist auch wichtig, den Schülern mitzuteilen, dass wir Fehlerschätzungen und adaptive Algorithmen erstellen können, die sich mit diesen Problemen befassen.

[1] https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf

[2] http://www.chebfun.org

— cpraveen
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+1 für die Verlinkung des "Mythos Papers" von Lloyd Trefethen, eine sehr gute Übersicht zum Thema IMO, danke.

— Laryx Decidua

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$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

$\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12} - \ldots$

$-1<x<1$ $x=0$ $x=2$

— Christopher Wells
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$y = sin(x)$

— Aniruddha Acharya
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y = \sin (\frac{1}{x})

$y=\sin(\frac{1}{x})$