Eigenwertzerlegung der Summe: A (symmetrisch) + D (diagonal)

Angenommen, ist eine reelle symmetrische Matrix und ihre Eigenwertzerlegung ist gegeben. Es ist leicht zu erkennen, was mit den Eigenwerten der Summe passiert, wobei eine Skalarkonstante ist (siehe diese Frage ). Können wir im allgemeinen Fall in dem eine beliebige Diagonalmatrix ist, eine Schlussfolgerung ziehen ? Vielen Dank. $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

Grüße,

Ivan

linear-algebra

— Ivan
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Sie können bessere Antworten erhalten, wenn Sie angeben, für welche Art von Schlussfolgerungen Sie sich interessieren

— David Ketcheson,

@ DavidKetcheson, ja, du hast absolut recht. Tatsächlich versuche ich, einen effizienten Weg zu finden, um eine Folge von Matrixexponentialen der Form

berechnen, wobei

fest ist und

diagonale Matrizen sind. Ich hatte gehofft, die Eigenwertzerlegung von

nur einmal durchführen zu können und sie dann irgendwie zu verwenden, um die durch Diagonalmatrizen eingeführte Korrektur zu erklären. Leider pendeln

und

im Allgemeinen nicht, so dass

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$ . Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie uns Ihre Ideen mitteilen könnten. Vielen Dank.

— Ivan

Dies steht im Zusammenhang mit scicomp.stackexchange.com/questions/503/…

— Geoffrey Irving

Antworten:

Man kann sehr wenig sagen, außer für Allgemeingültigkeiten wie die, dass sich die Eigenwerte mit den Einträgen von kontinuierlich ändern . $D$

Sie können durch symbolische Berechnung im Fall 2 mal 2 sehen, dass nichts Starkes zu erwarten ist.

— Arnold Neumaier
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Vielen Dank für die Antwort, ich wusste, dass ich so etwas hören würde. Darf ich Sie bitten, sich meinen obigen Kommentar anzusehen.

— Ivan

Die Komplexität der Berechnung einer Exponentialmatrix und die Berechnung einer Spektralfaktorisierung ist ungefähr gleich. Also nein, es gibt keine einfache Lösung. Was Sie jedoch tun können, wenn Ihre Diagonalmatrizen in einem lowD-Unterraum liegen, um den relevanten Teil des Exponentials (oder was auch immer Sie daraus berechnen möchten) für eine Reihe spezifischer Auswahlmöglichkeiten zu berechnen, die in Ihrem Raum gut verteilt sind von gewünschten Werten und verwenden Sie dann einen Interpolationsalgorithmus, um alle anderen zu approximieren.

— Arnold Neumaier

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

D

$D$

Ming Gu und Stanley C. Eisenstat haben dieses Problem bereits untersucht, siehe Link: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

Dieses Papier löst das Permutationsproblem Nummer eins, das das Problem hier nicht lösen kann. Wenn jemand das Rang-1-Permutationsproblem erfüllt, hilft es.

— Skyuuka
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Das Hinzufügen einer Diagonalmatrix ist keine Korrektur des ersten Ranges, daher bin ich mir nicht sicher, wie dieses Papier in diesem Fall hilft.

— Christian Clason

@ChristianClason: Richtig! Ich merke es einfach. Vielen Dank für den Hinweis!

— Skyuuka