Häufig verwendete Metriken zur Quantifizierung der Unregelmäßigkeit eines Dreiecksnetzes

Angenommen, Sie haben ein Dreiecksnetz in einer flachen Ebene. Dies wurde gezeichnet, um beispielsweise ein Problem in der Mechanik zu lösen.

Ein Netz aus gleichseitigen Dreiecken ist insofern am besten, als die Abstände zwischen den Eckpunkten und zwischen den Zentroiden überall gleich sind. Dies macht Interpolationen und die Berechnung von Verläufen zu einer einfachen und genauen Aufgabe. Aufgrund von Einschränkungen und Umständen ist es jedoch nicht immer möglich, an einem Netz aller gleichseitigen Dreiecke zu arbeiten.

Die Fragen beziehen sich also auf ein Netz dreieckiger Elemente beliebiger Form.

Bezüglich einzelner Netzelemente . Welche Metriken werden üblicherweise verwendet, um die Unähnlichkeit eines generischen Dreiecks von einer zugrunde liegenden idealen gleichseitigen Form zu quantifizieren?

Bezüglich des gesamten Netzes . Welche Metriken werden verwendet, um die Unregelmäßigkeit eines Netzes beliebiger Dreiecke insgesamt zu quantifizieren? Diese Metriken sollten angeben, wie verschlüsselt das Netz ist.

Danke fürs Mitdenken.

Hinweis Alle Beiträge der Finite-Elemente-Community wurden sehr geschätzt. Beachten Sie bei dieser Frage, dass das Interesse darin besteht, Unterschiede nur in der Geometrie (willkürliche oder gleichseitige Dreiecke) zu quantifizieren. Die nachfolgenden Auswirkungen auf die Interpolations- und Konditionierungsfehler liegen außerhalb des Anwendungsbereichs. Zugegeben, diese können aufschlussreich und relevant sein, sie erschweren die mathematische Handhabung.

Wie @Nicoguaro und @Paul in den Kommentaren zum Fragenbeitrag gesagt haben, gibt es sehr viele Möglichkeiten, dies zu tun, und ich bin mir nicht sicher, ob es einen einzigen "besten" Ansatz gibt.

Aus einer Übersichtsstudie von Jonathan Richard Shewchuck in Berkley geht hervor, dass:

Informationen zu Symbologie, Terminologie, Besonderheiten und möglicherweise mehr (z. B. Tetraeder) finden Sie im Originaldokument (Version 31/12/2002). Kapitel 6 befasst sich mit Qualitätsmaßnahmen. Das verknüpfte Dokument ist die erweiterte Version, und auf der Webseite von JRS gibt es auch eine gekürzte.

Persönlich bin ich ein Fan der Metrik "Volumenlänge". Es ist ein guter robuster Skalarindikator für (isotrope) Simplex-Qualität und kostengünstig zu berechnen. In zwei Dimensionen:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

Dabei ist der vorzeichenbehaftete Bereich des Dreiecks undist die quadratische mittlere Kantenlänge. Ideale Elemente erreichen , was mit zunehmender Verzerrung gegen Null abnimmt. Invertierte Elemente mit umgekehrter Ausrichtung haben .$A$$\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$$a=1$$a < 0$

Um die Qualität einer unstrukturierten Triangulation zu beurteilen, ist es typisch, Histogramme solcher Elementqualitätsmetriken zu betrachten. Es gibt viele Implementierungen solcher Dinge, aber eine einfache MATLABCodebasis von mir ist hier .

Zusätzlich zu den Volumenlängenwerten werden standardmäßig auch Histogramme der Elementwinkel und des Scheitelpunktgrads berechnet.

Ich glaube nicht, dass es eine Antwort auf diese Frage im Allgemeinen gibt , da alles von der beabsichtigten Verwendung des Netzes abhängt. Wenn Sie beispielsweise eine rechnergestützte Fluiddynamik durchführen, möchten Sie möglicherweise ein Netz, das in der Nähe der Grenzschicht extrem anisotrop ist. Wenn Sie nun rechnergestützte Elektromagnetik betreiben, ist das beste Netz wahrscheinlich völlig anders.

In der Literatur gibt es viele verschiedene Definitionen für ein Kriterium der "Netzqualität". Die meisten von ihnen bevorzugen Maschen mit Dreiecken, die so gleichseitig wie möglich sind. Man kann auch die Idee erwähnen, den kleinsten Winkel zu maximieren (was durch Delaunay-Triangulation für einen festen Satz von Punkten realisiert wird). Die in einem der Kommentare erwähnte Analyse von Jonathan Shewchuk rechtfertigt, dass dieser Winkel mit der Bedingungsnummer der Steifheitsmatrix für die mit P1-Elementen diskretisierte Laplace-Gleichung in Beziehung steht, aber je nach Verwendungszweck kann das gute Netz eines Menschen jemand sein sonst ist schlechtes Netz.

Ich halte es nicht für sinnvoll, "Unterschiede nur in der Geometrie (willkürliche oder gleichseitige Dreiecke) zu quantifizieren": Bevor gemessen wird, ob die Dreiecke gleichseitig sind, und entschieden wird, welche "Abweichung von der Gleichseitigkeit" die beste ist, muss herausgefunden werden ob "gleichseitige Dreiecke" das sind, was wir wollen, und das ist nicht immer der Fall! Es kommt alles von der "Interpolation und Konditionierung", die Sie erwähnen. Ja, wie Sie sagten "es erschwert die mathematische Handhabung", aber ohne sie ist es nicht möglich, den Unterschied zwischen objektiven Kriterien für eine bestimmte Anwendung und Kriterien zu machen, die überhaupt keinen Sinn ergeben.