Lösen von zwei inversen Problemen mit derselben Lösung

Ich habe zwei umgekehrte Probleme,

A_{1} x = b_{1} A_{2} x = b_{2}

$A_1 ~ x = b_1 \qquad A_2 ~ x = b_2$

Bisher habe ich sie unabhängig voneinander mithilfe der Tikhonov-Regularisierung gelöst und zwei Schätzungen für $x$ . In meinem Fall repräsentiert $x$ in beiden Gleichungen die gleiche Lösung. Ist es möglich, eine "simultane" Lösung durchzuführen? Im Idealfall würde ich die Antwort finden

min (‖ A_{1} x - b_{1} ‖^{2} + ‖ A_{2} x - b_{2} ‖^{2} + ‖ Γ x ‖^{2})

$\min \left( \lVert A_1 x - b_1 \rVert^2 + \lVert A_2 x - b_2 \rVert^2 + \lVert\Gamma x\lVert^2 \right)$

Wobei und die Identitätsmatrix wie bei der Tikhonov-Regularisierung (auch bekannt als Ridge-Regression) ist. Ich nehme an, ich könnte einfach den Durchschnitt beider Lösungen nehmen und mich fragen, ob es jedoch einen statistisch aussagekräftigeren Weg gibt, dies zu erreichen. $\Gamma = \alpha ~ I$ $I$

linear-algebra numerical-analysis inverse-problem

— abnowack
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Wie ist die relative Genauigkeit der Messungen in und ? Möglicherweise müssen Sie skalieren, um dies anzupassen. Sind alle Messungen unabhängig? Korrelation kann Dinge komplizieren.

b_{1}

$b_{1}$

b_{2}

$b_{2}$

— Brian Borchers

Im Moment ist alles modelliert, so dass ich und perfekt kenne , aber in der Praxis werde ich mit vielleicht 10x mehr Genauigkeit kennen. In diesem Schritt möchte ich jedoch davon ausgehen, dass ich beide gleichermaßen kenne und dass sie unabhängig sind.

b_{1}

$b_1$

b_{2}

$b_2$

b_{1}

$b_1$

— abnowack

Was ist Ihre Frage hier? Es ist einfach, das Problem der kleinsten Quadrate mit drei Begriffen zu lösen, das Sie in Ihrer Frage angegeben haben.

— Brian Borchers

Ist es? Wenn Sie in einer Antwort erklären, werde ich es richtig markieren. Ich benutze nur grundlegende Routinen wie den kleinsten quadratischen Löser von numpy . Ich habe keinen CS-Hintergrund, daher könnte mir etwas Offensichtliches fehlen.

— abnowack

Sie können Ihr Problem als schreiben

$\min \| Fm - g \|_{2}^{2}$

$F=\left[ \begin{array}{c} A_{1} \\ A_{2} \\ \alpha I \\ \end{array} \right]$

und

$g=\left[ \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ 0 \\ \end{array} \right].$

Sie können einen beliebigen linearen Löser für kleinste Quadrate verwenden, um dieses Problem zu lösen.

— Brian Borchers
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