Verwendung von Potenzreihenkarten

Ich komme aus dem Bereich der Beschleunigerphysik, speziell in Bezug auf kreisförmige Speicherringefür Synchrotronlichtquellen. Durch Magnetfelder geleitete hochenergetische Elektronen zirkulieren um den Ring. Die Elektronen zirkulieren milliardenfach und man will die Stabilität vorhersagen. Sie können die Bewegung der Elektronen an einem Punkt im Ring als Phasenraum (Position, Impulsraum) beschreiben. Bei jeder Umdrehung um den Ring kehrt das Teilchen zu einer neuen Position und einem neuen Impuls zurück, und dies definiert eine Karte im Phasenraum, die als "One-Turn-Karte" bezeichnet wird. Wir können annehmen, dass es am Ursprung einen festen Punkt gibt, der in einer Potenzreihe erweitert werden kann. Man möchte also etwas über die Stabilität iterierter Potenzreihenkarten wissen. Diesbezüglich gibt es viele schwierige Fragen, und das Thema hat eine alte Geschichte. Zahlreiche Bibliotheken wurden implementiert, um sogenannte Algebra der Truncated Power Series zu implementieren. (Siehe zDieses Papier über Zlib von Y. Yan. Weiterer Hintergrund zur Physik und ein Ansatz zur Analyse ist der Normalformansatz, z. B. Bazzani et. al. hier .) Die Frage ist, wie man eine solche Bibliothek benutzt und wie man das Stabilitätsproblem löst. Der Hauptansatz in der Strahldynamik war die Analyse der Normalform, was meines Erachtens nicht erfolgreich war. Ich frage mich , ob eine Art von spektralen Methoden in anderen Bereichen (vielleicht nach dem Vorbild der so etwas wie entwickelte diese?). Kann sich jemand eine andere Domäne vorstellen, in der die Langzeitstabilität iterierter Potenzreihenkarten mit einem festen Punkt am Ursprung analysiert wird, um Wissen auszutauschen oder neue Ideen zu erhalten? Ein mir bekanntes Beispiel ist die Arbeit von Fishman und "Accelerator Modes" in der Atomphysik. Gibt es noch andere Welche anderen Systeme können als getretener Rotor oder als Henon-Karte modelliert werden?

algorithms polynomials

— Boaz
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Ich denke, es könnte hilfreich sein, ein wenig auf Ihre Terminologie einzugehen. Ich kenne zum Beispiel alle mathematischen Konzepte, die Sie erwähnt haben, aber ich kann mir nicht genau vorstellen, was Sie in diesem Kontext mit "einer Karte des Phasenraums" meinen. Ich bin mir sicher, dass dies in Ihrem speziellen Bereich keiner Erklärung bedarf, aber Menschen aus anderen Fachgebieten erkennen möglicherweise, dass sie tatsächlich wissen, wie sie Ihnen helfen können, wenn Sie etwas mehr erklären, was Sie meinen.

— Colin K

Das ist eigentlich ein guter Punkt: Da diese Site vermutlich Menschen aus vielen verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen zusammenbringen wird, ist es besonders wichtig, feldspezifische Begriffe zu definieren (oder zumindest auf Erklärungen zu verweisen).

— David Z

Einverstanden, Collin und David. Danke für die Kommentare. Der Phasenraum ist der Positionsimpulsraum. Denken Sie an eine Position im Ring, und das Elektron hat eine Querposition und einen Impuls (Geschwindigkeit). Nachdem es einmal um den Ring gegangen ist, hat es eine neue Position und Geschwindigkeit. Es wird also eine One-Turn-Karte genannt. Wenn es linear wäre, wäre es wie ein harmonischer Oszillator, der eine Ellipse im Phasenraum nachzeichnet. Für den Fall, dass die Karte kreisförmig ist, hätte sie die Form x_1 = cos (Theta) x_0 + sin (Theta) p_0 und p_1 = -sin (Theta) x_0 + cos (Theta) p_0. Klärt das?

— Boaz

Ich fügte einige Literaturhinweise zur Strahlphysik und -berechnung hinzu und fügte eine kurze Definition des Phasenraums hinzu.

— Boaz

Übrigens fragte ich eine ähnliche Frage auf Stack Wechsel, Mathematik, hier . Dort habe ich nach Lösungen für die Stabilitätsfrage aus mathematischer Sicht gefragt. Hier habe ich mich gefragt, ob es das gleiche Problem in anderen wissenschaftlichen Fächern gibt, da es etwas allgemein erscheint, aber nicht mit viel außerhalb der Strahldynamik in Verbindung gebracht wurde. Ein Bereich, den ich kenne, sind Beschleunigermodi in der Atomphysik. Gibt es noch andere

— Boaz

Antworten:

Sie wissen das wahrscheinlich schon, aber es klingt wie etwas aus der Welt der Chaostheorie und der Fraktale? (daher ist es rechnerisch "schwierig")

Haben Sie sich auf Ihre Frage die Welt der Planetenmechanik und der N-Körper-Probleme angesehen? Diese sind auch gezwungen, iterative Lösungen zu verwenden, und die zugrunde liegende Physik ist N ^ 2, obwohl die Kraftquellen sich normalerweise ebenfalls bewegen dürfen - nur um die Dinge weiter zu komplizieren.

Es ist lange her, seit ich sie angeschaut habe, aber Ihre Erwähnung von Phasenkarten der Stabilität klingt sehr ähnlich wie Henon-Karten. Ich bin sicher, dass diese Anwendungen breiter angelegt sein müssen, aber sie werden normalerweise in Bezug auf die Planetenstabilität beschrieben (z. B. die Stabilität eines zweiten Mondes in einem Planet-Mond-System).

— winwaed
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Ja, die Henon-Karte ist genau das, was wir in der Beschleunigerstrahldynamik haben. Das Problem mit der Analogie zum N-Körper-Problem ist, dass der Raum dort viel größer ist. Der "Phasenraum" ist 6xN-dimensional, wohingegen er für das einzelne Teilchen in einem Speicherring im allgemeinen Fall nur 6-dimensional ist. Ich bin gespannt, in welchen anderen Domänen sich so etwas wie eine Henon-Map befindet, um die Dynamik zu modellieren. Auf dem Weg der Chaostheorie dachte ich auch an die Theorie der Populationsdynamik. Danke für die Antwort.

— Boaz

Sie könnten das asymptotische Verhalten diskreter dynamischer Systeme untersuchen . Es gibt sowohl eine reiche theoretische Literatur zu diesem Thema in Mathematik als auch mehr angewandte Literatur in Physik und Informatik.

— MRocklin
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Danke Mrocklin. Ich habe ein bisschen in der allgemeinen Literatur nachgesehen und keine Lösung gefunden, oder vielleicht war es zu mathematisch, und ich fand nicht dasselbe Problem so, wie ich es verstehen konnte.

— Boaz

Hier einige Fragen aus diesem Bereich: (1) Bilden Sie Umlaufbahnen - dh kommen Sie nach mehreren Iterationen wieder an dieselbe Stelle zurück? (2) Ist Ihr System empfindlich gegenüber kleinen Störungen - dh wenn wir einen Zustand starten, der ein wenig von Ihrem Startzustand abweicht, wird er an einem anderen Ort enden? (3) Handeln einige Arten von Störungen wild, während andere zahm sind? Wenn Sie Antworten auf diese Fragen geben, erhalten Sie möglicherweise einen Einblick in die Eigenschaften Ihres physischen Systems.

— MRocklin

(1) Nahe dem Ursprung ist die Dynamik stabil und bildet geschlossene Bahnen. Wenn man weiter hinausgeht, findet man manchmal andere Inseln der Stabilität. Und dann, noch weiter entfernt, ist die Dynamik instabil, dh unbegrenzt. (2) Einige Aspekte sind sensibel und andere nicht. Die stabilen Bahnen sind nicht so empfindlich gegenüber Störungen. (3) Die Störungen wirken typischerweise periodisch mit einer gewissen Frequenz. Einige Frequenzen verursachen Resonanzen, die die Dynamik auch bei kleinen Störungen dramatisch verändern können. Es ist jedoch nicht klar, welche Frequenzen gefährlich sind.

— Boaz

Es kann nützlich sein, sich mit Taylor-Modellmethoden zu befassen. dies scheint ein schöner übersichtsartikel zu sein. Versuchen Sie, ob COSY infinity tun kann, was Sie wollen.

— Erik P.
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Danke Erik. Ja, ich bin ein bisschen vertraut mit COSY infinity. Der Artikel, auf den Sie verlinken, ist nützlich, um einen Überblick über die Methoden zur Verwendung von Potenzreihen zur Berechnung verschiedener Funktionen und zur Ermittlung von Fehlergrenzen usw. zu erhalten. Meine Frage bezieht sich jedoch darauf, welche Systeme (außer kreisförmigen Speicherringen) nach Potenzreihen und modelliert werden können wie man sich für den Stabilitätsbereich löst. Ich glaube nicht, dass normale Formularmethoden das zum Beispiel können. Es war ein einflussreiches Thema in der Strahldynamik, aber ich sehe nicht, dass es das Problem gelöst hat.

— Boaz