Finite-Differenzen-Schema für kompressible nichtisotherme Strömung in porösen Medien

Meine Herausforderung besteht darin, das folgende Gleichungssystem zu lösen, das die Gasverbrennung in porösen Medien beschreibt:

1) Kontinuität

$\varepsilon \frac{\partial \rho_g}{\partial t} +\frac{\partial}{\partial x} \left(\rho_g u_x\right)=0$

2) Darcy-Gesetz (Impuls)

$u_x=-\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$

3) Zustandsgleichung, beachten Sie die variable Temperatur

$\rho_g=\frac{M_Rp}{RT_g(x)}$

4) Energiegleichung für das Gas.

5) Energiegleichung für die feste Phase

Ich habe den Fall, in dem Geschwindigkeit, Druck und Dichte als konstant angenommen werden, erfolgreich beschrieben und gelöst, dh die ersten drei Gleichungen fallen aus. Die Lösung des gasodynamischen Teils erwies sich jedoch als Problem.

Das Anwenden eines Aufwindschemas auf 1) (wie hier vorgeschlagen wurde: Ein guter endlicher Unterschied für die Kontinuitätsgleichung ) ergibt ein wirklich strenges Stabilitätskriterium für den Zeitschritt. Ich bin gezwungen, es so niedrig wie 1e-6 mit einem 1e-2-Raum zu haben Zeitschritt, auch wenn ich den isothermen Fall nehme, wobei die Verbrennung vorerst außer Acht gelassen wird. Und ich brauche mindestens 1e-3, um die Energiegleichungen aufzulösen.

Die ersten drei Gleichungen können auch miteinander verbunden werden, um sich zu bilden

6) $\frac{\partial p}{\partial t} +C\frac{\partial^2}{\partial x^2} \left(p^2 \right)=0$

aber nur im isothermen Fall , so dass das wenig hilft.

Ich weiß, dass die Leute 1) -5) und 6) schon einmal gelöst haben, aber ich konnte keine Beschreibung der von ihnen verwendeten Schemata finden. Ich habe versucht, Artikel über kompressible Strömungen in porösen Medien speziell zu suchen, aber alle befassen sich mit viel komplexeren Modellen (mehrphasige, verformbare Feststoffe usw.) und verwenden sehr komplizierte Lösungsmethoden.

Könnte jemand ein gutes FD-Schema für (1) - (3) vorschlagen oder sagen, wie die Stabilitätskriterien gebildet werden, wenn man nur Aufwind verwendet, wie ich es getan habe?

finite-difference fluid-dynamics

— tiam
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Gibt es einen Grund, warum Sie unbedingt die Finite-Differenzen-Methode verwenden müssen? Fluiddynamiksimulationen werden mit der Finite-Volumen-Methode natürlicher aufgelöst, da sie von Natur aus konservativ ist.

— Paul

Ja, der Grund dafür ist, dass das Ändern der Methode bedeuten würde, den gesamten Code, den ich jetzt habe, neu zu schreiben, und ich habe eine ziemlich strenge Frist für dieses Projekt, weniger als eine Woche. Ich werde sowieso in der Lage sein, Dinge zu melden, aber ich möchte den Dingen auf den Grund gehen :). Fühlen Sie sich frei, eine Lösung mit endlichem Volumen zu veröffentlichen!

— tiam

@Paul True, aber nur, wenn OP an einem ungleichmäßigen Raster arbeitet. Bei einem einheitlichen rechteckigen Gitter degeneriert die endliche Volumendiskretisierung zu endlichen Differenzen. Meiner Meinung nach eignen sich FD, wenn die Bewerbung dies zulässt, hervorragend zum Erlernen der Grundlagen, und dann ist FV der nächste Schritt.

— Milancurcic

@ Paul / @ IRO-bot Es ist subtiler als das. Es gibt konservative Finite-Differenzen-Methoden hoher Ordnung. Es gibt so viele Äquivalenzen, insbesondere für einfache Methoden, dass die Auswahl zum Teil nur dann sinnvoll ist, wenn wir fragen, welche Komponenten der Methode Sie fixieren möchten, wenn Sie die Methode in eine bestimmte Richtung erweitern.

— Jed Brown

Normalerweise bezieht sich die Zustandsgleichung auf Druck, Temperatur und Dichte. Aber ich sehe nirgendwo Druck. Und was ist ?

M_{R P}

$M_{RP}$

— David Ketcheson

Für explizit gelöste hyperbolische Probleme müssen Sie eine CFL-Bedingung (Courant, Friedrichs, Lewy) erfüllen. Dies stellt sicher, dass das Schema nur Daten aus dem Abhängigkeitsbereich für die Differentialgleichung verwendet. Weitere Informationen zur CFL-Bedingung und warum dies erforderlich ist, finden Sie z. B. S. 215-218 in Finite-Differenzen-Methoden für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen von LeVeque. Auch in diesem Kapitel werden einige alternative Methoden vorgestellt, aber die Stabilitätskriterien sind noch vorhanden. Die CFL-Bedingung für die Aufwindmethode in 1D ist . $\frac{u\Delta t}{\Delta x} < 1$

Bei diskontinuierlichen Galerkin (DG) -Methoden wird die Verwendung von Runge-Kutta-Methoden zur Erhaltung der starken Stabilität (SSP) immer beliebter. Obwohl es sich um explizite Methoden handelt, können im Gegensatz zu einer einfachen Forward-Euler-Methode häufig mehrere Vielfache der üblichen Courant-Nummer verwendet werden. Das bedeutet, dass Sie längere Zeitschritte ausführen können, jedoch zu höheren Kosten pro Zeitschritt. Es ist möglicherweise möglich, SSPRK-Methoden an Ihr Problem anzupassen, aber ich habe dies nur für DG-Methoden gesehen, und mein Verständnis ihrer Anwendbarkeit ist begrenzt.

Es könnte möglich sein, eine implizite Zeitmethode zu verwenden, da sie unbedingt stabil sind. Um die Genauigkeit auf einem akzeptablen Niveau zu halten, können Sie die ursprüngliche Einschränkung des Zeitschritts wiederherstellen. LeVeques Buch scheint darauf hinzudeuten, dass die Verwendung von Rückwärts-Euler oder einer Adams-Methode für die Zeitdiskretisierung und die zentrale Differenzierung für die räumliche Ableitung funktionieren könnte.

Ich stimme der Abstimmung für Finite-Volume-Methoden oder, wenn Sie eine Herausforderung wünschen, für DG-Methoden zu.

— Ken
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