Starke vs. schwache Lösungen von PDEs

Die starke Form einer PDE erfordert, dass die unbekannte Lösung zu . Die schwache Form erfordert jedoch nur, dass die unbekannte Lösung zu H 1 gehört .$H^2$$H^1$

Wie vereinbaren Sie das?

Schauen wir uns den einfachsten Fall Poissongleichung

$$-\Delta u = f \tag{1}$$ auf einer Domain $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ zusammen mit homogenen Dirichlet Bedingungen $$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$$ an der Grenze $\partial\Omega$ von $\Omega$ . Wir gehen $\partial\Omega$ davon aus, dass ∂ Ω so glatt ist, wie wir wollen (z. B. kann durch eine $C^\infty$ -Funktion parametrisiert werden ) - dies wird später wichtig sein.

Die Frage ist nun, wie die (rein formale) PDE zu interpretieren ist $(1)$ . Normalerweise wird dies in Bezug auf die Interpretation der Ableitung $\Delta$ beantwortet , aber für unseren Zweck ist es besser, sich auf die Interpretation der Gleichung zu konzentrieren .

1. Es wird angenommen, dass die PDE $(1)$ für jedes $x\in\Omega$ punktweise gilt . Damit dies sinnvoll ist, muss die rechte Seite $f$ stetig sein, sonst können wir nicht über punktweise Werte $f(x)$ sprechen . Dies bedeutet, dass die zweiten (klassischen) Ableitungen der Lösung $u$ stetig sein müssen, dh wir müssen nach $u\in C^2(\Omega)$ suchen .
   
   Eine Funktion $u\in C^2(\Omega)$ , die ( 1 ) erfüllt$(1)$zusammen mit der Randbedingung $(2)$ punktweise eine klassische Lösung genannt (manchmal leider auch starke Lösung ).

2. Die Anforderung, dass $f$ stetig ist, ist für praktische Anwendungen viel zu restriktiv. Wenn wir nur annehmen , dass $(1)$ zu halten , punktuellen für fast alle $x\in \Omega$ (dh überall für Sätze von Lebesgue ausnehmen Maß Null), dann können wir mit wegkommen $f\in L^2(\Omega)$ . Dies bedeutet, dass die zweiten Ableitungen Funktionen in $L^2$ , was sinnvoll ist, wenn wir schwache Ableitungen nehmen und daher nach u ∈ H 2 ( Ω ) ∩ H 1 0 suchen$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ . (Denken Sie daran,dass wirfür Funktionen$u$ , die nicht stetig sind, die Randbedingung$(2)$ punktweiseannehmen können. Da$\partial \Omega$ das Null-Lebesgue-Maß als Teilmenge von$\bar\Omega$ , ist punktweise fast überall auch nicht sinnvoll.)
   
   Eine Funktion$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ , das$(1)$ fast überall punktweiseerfüllt,wird alsstarke Lösung bezeichnet. Beachten Sie, dass es im Allgemeinen notwendig und nicht trivial ist, zu zeigen, dass eine solche Lösung existiert und eindeutig ist (was für das Beispiel hier der Fall ist).

3. Wenn es sich bereits um schwache Derivate handelt, können wir auch die Annahmen zu $f$ weiter lockern . Wenn wir $(1)$ als abstrakte Operatorgleichung in $H^{-1}(\Omega)$ , dem Doppelraum von $H^1_0(\Omega)$ , halten, dann ist dies für alle $f\in H^{-1}(\Omega)$ (was a ist ) sinnvoll größerer Raum als $L^2(\Omega)$ ). Ziemlich per Definition des dualen Raums und der schwachen Ableitung, $(1)$in diesem Sinne ist äquivalent zu der Variationsgleichung

   $$\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$$
   Eine Funktion$u\in H^1_0(\Omega)$, die$(3)$erfüllt, wird alsschwache Lösung bezeichnet. Auch hier ist es im Allgemeinen notwendig und nicht trivial zu zeigen, dass eine solche Lösung existiert und einzigartig ist (was für das Beispiel hier der Fall ist).

$H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

• $(3)$$u\in H^2(\Omega)$$f\in L^2(\Omega)$$H^{-1}(\Omega)$$n=2$$H^2(\Omega)$$C(\bar\Omega)$$\partial\Omega$

• $f\in L^2(\Omega)$

• $H^1_0(\Omega)$$H^2(\Omega)$oder kompliziertere nichtlineare Gleichungen; siehe z . B. http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ .)