Schätzen Sie die Norm einer Black-Box-Funktion

Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum mit der Normund sei F: V \ rightarrow \ mathbb R eine begrenzte lineare Funktion. Es wird nur als Blackbox angegeben.$V$$\|\cdot\|$$F : V \rightarrow \mathbb R$

Ich möchte die Norm von F schätzen $F$(von oben und unten). Da $F$ eine Blackbox ist, besteht die einzige Möglichkeit darin, sie mit Einheitsvektoren von V zu testen $V$und basierend auf dem Ergebnis $v \in S^1 V$ , das | F (v) | maximiert $|F(v)|$.

Kennen Sie einen solchen Algorithmus? In der Anwendung, an die ich denke, ist $V$ ein Finite-Elemente-Raum und $F$ eine komplizierte Funktion in diesem Raum.

BEARBEITEN: Meine erste Idee ist, $v \in S^1 V$ zufällig zu wählen , es in mehrere Richtungen zu stören, z. B. $v_1,\dots,v_k$ , und dann den Vorgang mit dem v_i zu wiederholen, das $v_i$das größte $F(v_i)$ . Ich weiß nicht, wo ich Algorithmen und Analysen für dieses Problem finden kann.

Wenn Ihr Raum ein Hilbert-Raum ist, besagt der Riesz-Satz, dass Sie und wie Sie erwähnen können, indem Sie Einheitsvektoren ausprobieren. Wenn der Raum höherdimensional ist, wird dies unpraktisch, aber Sie können zumindest Schätzungen von berechnen, indem Sie für eine Folge von Zufallsvektoren berechnen .$V$$F(v)=\left< f, v \right>$$f$$f$$F(v)$$v$

Vielleicht können Sie den Zustandsschätzer von Hager ändern (siehe z. B. das Papier http://eprints.ma.man.ac.uk/321/01/35608.pdf ), dasWenn eine Faktorisierung von bekannt ist, funktioniert dies für Ihren speziellen Fall.$\|A^{-1}\|$$A$