Beeinflusst die Matrixbedingungsnummer die Genauigkeit iterativer linearer Löser?

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Ich habe eine ziemlich spezifische Frage bezüglich der Bedingungsnummer. Ich führe FEM-Simulationen mit mehreren Längenskalen durch, was zu einer großen Ungleichheit zwischen den größten Einträgen und den kleinsten Einträgen in meiner Matrix führt. Die Bedingungsnummer kann unter bestimmten Umständen bis zu 10 ^ 15 betragen.

In der numerischen Analyse sehe ich oft den Fehler, der für die Bedingungsnummer gebunden ist, da er für Fehler in der berechneten Lösung mit direkten Methoden gilt. Meine Neugier ist, ob diese Logik auch für Fehler in einem Löser vom iterativen Typ wie CG oder GMRES gilt. Ich weiß, dass die Konvergenzrate durch die Eigenwerte der Matrix beeinflusst wird, und ich bemerke enorme Geschwindigkeitsverluste, wenn Probleme dieses Typs ausgeführt werden. Über die Genauigkeit bin ich mir jedoch nicht sicher. Jede Hilfe wäre dankbar.

linear-algebra numerical-analysis linear-solver

— CraigJ
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Ist es möglich, Ihre Zustandsnummer durch Netzverfeinerung zu reduzieren?

— Nathanielng

Es könnte mein Unverständnis für FEM sein. Bei Multiskalen-Modellierungsproblemen beträgt das Volumen meines größten Elements zum kleinsten Element etwa 10 ^ 10. Ich weiß, dass diese Parameter in die Einträge der Matrix eingehen werden. Was ich nicht weiß, ist, ob diese Art von Dingen in den linearen FEM-Lösern berücksichtigt wird (aber ich weiß nicht, wie es wäre, weshalb ich die Frage gestellt habe). Um Ihre Frage zu beantworten, wird das Netz verfeinert, da alle Elemente eine akzeptable Qualität haben. Aufgrund der unterschiedlichen Größe der Elemente habe ich jedoch geschätzt, dass meine Zustandsnummer in dieser Reihenfolge liegt.

— CraigJ

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$10^{15}$

Es ist unwahrscheinlich, dass Ihre iterative Methode in angemessener Zeit zu einer Lösung konvergiert. Selbst wenn Sie bereit wären, jahrhundertelang zu warten, wäre die Lösung, die Sie erhalten haben, äußerst empfindlich gegenüber Störungen in den Problemdaten.

— Brian Borchers
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Wenn ich also einen Parameter mit einer Variabilität von 5-10% habe, der die Werte in der Matrix beeinflusst, wird diese Unsicherheit unabhängig von der Art der Lösungsmethode um ein Vielfaches vergrößert? Danke, ich bitte nur um ein bisschen Klarstellung.

— CraigJ

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Ja, wenn Ihre Daten 5-10% genau sind und Sie ein schlecht konditioniertes System haben, sind Sie in großen Schwierigkeiten. Sie müssen wirklich eine Art Regularisierung in Betracht ziehen.

— Brian Borchers

10^{- 20}

$10^{-20}$

10^{12}

$10^{12}$

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| | x^{*} - - x | | = | | {EIN}^{- - 1} EIN (x^{*} - - x) | | \leq | | {EIN}^{- - 1} | | | | b - - EIN x | |

$||x^* - x|| = ||A^{-1} A (x^* - x)|| \le ||A^{-1}||\,||b - A x||$

| | A^{- 1} | |

$||A^{-1}||$

κ (EIN) = | | EIN | | | | {EIN}^{- - 1} | |

$\kappa(A) = ||A||\,||A^{-1}||$

Log κ .

$\log\kappa.$

— Matt Knepley
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