Wie finde ich die inneren Eigenwerte mit der Krylov-Subraummethode?

Ich frage mich, wie man die Eigenwerte einer spärlichen Matrix in einem gegebenen Intervall [a, b] durch iterative Methode findet. Nach meinem persönlichen Verständnis ist es offensichtlicher, die Krylov-Subraummethode zu verwenden, um die extremen Eigenwerte zu finden, anstatt die inneren.

linear-algebra

— Willowbrook
quelle

Haben Sie die hier gegebenen Antworten berücksichtigt ?

— Todesatem

Ich bin neugierig ... Wie groß ist deine Matrix? Benötigen Sie alle inneren Eigenwerte oder solche, die einem bestimmten Wert am nächsten kommen?

— Paul

@Paul Dies ist nur eine laufende Untersuchung, die Größe wird Milliarden für Milliarden spärliche Matrizen betragen, und wir benötigen nur wenige Eigenwerte in bestimmten Intervallen, um die Modellierung durchzuführen.

— Willowbrook

@Deathbreath Vielen Dank für Ihre Erinnerung. Ich habe diese Antworten berücksichtigt.

— Willowbrook

Vielleicht kennen Sie diese Ressource bereits, aber sie kann trotzdem nützlich sein ... www-users.cs.umn.edu/~saad/eig_book_2ndEd.pdf Grüße, Tom

— Tom

Die folgende Strategie heißt Shift and Invert und hängt von zwei wichtigen Fakten ab:

hat das gleiche Spektrum wie , ist jedoch um nach unten verschoben, dh wenn dann ist . $A-\tau I$ $A$ $\tau$ $\lambda \in \sigma(A)$ $\lambda-\tau \in \sigma(A-\tau I)$
Unter der Annahme, dass invertierbar ist, hat die Matrix ein Spektrum, das gleich der elementweisen Umkehrung des Spektrums von , dh wenn dann . $A$ $A^{-1}$ $A$ $\lambda \in \sigma(A)$ $1/\lambda \in \sigma(A^{-1})$

Da werde den Teil desSpektrumsvonverschoben haben, dernahe an $A-\frac{a+b}{2}I$ $A$ in der Nähe des Ursprungs die Eigenwerte vonNähe von $\frac{a+b}{2}$ $A$ wird insehr groß sein $\frac{a+b}{2}$ , und daher ist zu erwarten, dass ein Krylov-Algorithmus sie aufnimmt. $(A-\frac{a+b}{2}I)^{-1}$

— Jack Poulson
quelle

Meine Frage ist, dass wir durch Verschieben und Invertieren alle Eigenwerte in der Nähe von a verstärken können, was natürlich die unerwünschten Werte einschließt, die ursprünglich kleiner als a waren, und dann, wie diese Eigenwerte herausgefiltert werden können. Die andere Frage ist, wie der andere Endpunkt b in der Interaktion verwendet wird.

— Willowbrook

Es ist möglich, bestimmte Eigenwerte mithilfe von Polynomfiltern herauszufiltern. Für einen zugänglichen Überblick über diese Technik siehe Sorensen: "Numerische Methoden für große Eigenwertprobleme" in Acta Numerica journals.cambridge.org/action/…

— Reid.Atcheson

c = (a + b) / 2

$c=(a+b)/2$