Berechnung des charakteristischen Polynoms einer reellen Matrix mit geringer Dichte

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Bei einer generischen dünn Matrix mit ~~m << n~~ (Korrektur: ) Nicht-Null-Elementen (typischerweise ). ist generisch in dem Sinne, dass es keine spezifischen Eigenschaften (z. B. positive Bestimmtheit) aufweist und keine Struktur (z. B. Streifenbildung) angenommen wird. $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ $m \ll n^2$ $m \in {\cal O}(n)$ $A$

Was sind einige der guten numerischen Methoden, um entweder das charakteristische Polynom oder das minimale Polynom von zu berechnen ? $A$

linear-algebra algorithms sparse-matrix

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Klingt so, als ob Sie alle Eigenwerte berechnen möchten. Warum soll das Polynom und wie soll es ausgedrückt werden? Die Monomialbasis ist extrem schlecht konditioniert, so dass die Koeffizienten wahrscheinlich nicht stabil in endlicher Präzisionsarithmetik berechnet werden können.

— Jed Brown

@JedBrown eher eine Kontemplation. In meiner Antwort auf diese Frage gab ich eine algebraische Methode zum Invertieren einer Matrix an, die in der Computeralgebra bekannt ist (z. B. Matrizen über kommutative Ringe und Felder). Ich möchte wissen, ob ich es für numerische Matrizen verwenden kann. Bitte beachten Sie, dass ich für diese Frage an numerischen Methoden interessiert bin, um das charakteristische / minimale Polynom zu finden, anstatt es invers zu machen.

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Wenn die Komplexität von kein Stopper ist, sollten Sie sich die Danilevskii-Methode ansehen. Es ist in der russischen Literatur zur numerischen linearen Algebra ziemlich bekannt, aber es gibt nicht viele Informationen auf Englisch. Sie können von diesem Link aus starten . $O(n^3)$

Die Idee ist ziemlich einfach: Die Matrix wird durch "Gaußsche Eliminierungs-ähnliche" Ähnlichkeitstransformationen allmählich auf die Frobenius-Normalform reduziert . Wenn Sie die Informationen nicht finden, kann ich den Algorithmus ausgefeilter gestalten.

— Faleichik
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Sie können eine numerische Methode wie die QR-Faktorisierung oder die Potenzmethode und ihre Realtive (inverse Potenz usw.) verwenden, um die Eigenwerte Ihrer generischen Matrix zu berechnen. Danach können Sie Ihr charakteristisches Polynom durch Faktorisierung berechnen als: (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0 wobei λi die berechneten Eigenwerte sind. Hier ist eine kurze Präsentation über Power- und QR-Methoden:

QR-Power

— chemeng
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$m \ll O(n^2)$ $m \ll O(n)$ $n$ $O(m)$

— Wolfgang Bangerth
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m ≪ n^{2},

$m \ll n^2,$

m \in O (n)

$m \in {\cal O}(n)$