Was ist der aktuelle Stand der Technik bei der Lösung höherdimensionaler parabolischer PDEs (Mehrelektronen-Schrödinger-Gleichung)

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Was ist der aktuelle Stand der Technik zur Lösung höherdimensionaler (3-10) parabolischer PDEs im komplexen Bereich mit einfachen Polen (der Form )?) und Randbedingungen absorbieren? $\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

Insbesondere interessiert mich die Lösung der Mehrelektronen-Schrödinger-Gleichung:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

Für ein zweiatomiges Molekül mit mehr als 1 Elektron.

parabolic-pde quantum-mechanics high-dimensional

— Andrew Spott
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Die Lösungen für die Gleichung sind in Wenn die Anzahl der Elektronenklein genug ist, können Sie einfach jedeherkömmlicheMethode anwenden. Wie eine Domänen-Diskretisierungsmethode (Finite Differenz, Finite Elemente, Grenzelemente) oder eine Pseudospektralmethode. Da das Lösen dieser Gleichung nicht schwieriger ist als das Lösen einer mehrdimensionalen Wellengleichung.

ψ \in C^{3 M} \times R^{+} .

$\psi \in \mathbb{C}^{3M}\times\mathbb{R}^+ \enspace .$

Bei größeren Systemen ist ein Trick erforderlich, um die Lösung zu erhalten. Wir ersetzen die Elektron-Elektron-Wechselwirkung durch die Wechselwirkung eines Elektrons mit einer Elektronenwolke (eine mittlere Feldnäherung der übrigen) und lösen dann auf selbstkonsistente Weise (aufgrund der Nichtlinearität, die aus dem mittleren Feld stammt Begriff). Dies geschieht in Hartree-Fock und Density Functional Theory (DFT). Wobei die ursprüngliche Differentialgleichung in eine Variationsformulierung umgewandelt wird.

DFT ist heutzutage die gebräuchlichste Methode, und der Vorteil besteht darin, dass alle Gleichungen in Bezug auf die Elektronendichte und nicht in Bezug auf die Wellengleichungen formuliert werden. Die Gleichungen liegen also in einem dreidimensionalen Raum. Ein Buch, das diese beiden Methoden beschreibt, ist

Thijssen, Jos. Computerphysik. Cambridge University Press, 2007. Amazon Link .

— nicoguaro
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Sie möchten nach 3 bis 10 Partikelsystemen (3D pro Partikel) lösen? Soweit mir bekannt ist, funktionieren mittlere Feldtheorien für so wenige Partikel nicht besonders gut, aber es scheint, dass DFT-Arbeiten an zweiatomigen Molekülen durchgeführt wurden.

Ist dies ein System, in dem Born-Oppenheimer gültig ist? Wenn ja, könnte ich geneigt sein, die elektronische Wellenfunktion unter Verwendung einer linearen Kombination von Slater-Determinanten zu erweitern, möglicherweise unter Verwendung eines spärlichen Gitters oder spektraler spärlicher Gitter. Dieses Papier könnte vielleicht helfen .

Eine andere Möglichkeit besteht darin, einen eng bindenden Ansatz zu verwenden, obwohl die Tatsache, dass Sie absorbierende Randbedingungen erwähnt haben, darauf hindeutet, dass Sie möglicherweise an Probleme mit Ionisation / Dissoziation denken. TB wäre meistens nützlich, wenn Sie versuchen würden, Zustände auf niedriger Ebene zu approximieren.

Möglicherweise könnte hier so etwas wie die zeitabhängige Hartree-Fock-Methode mit mehreren Konfigurationen funktionieren . MCTDHF .

Schließlich könnten Sie sich Quanten-Monte-Carlo-Methoden ansehen. Dies sind die Methoden, mit denen Austausch- und Korrelationsfunktionsmodelle für einzelne Atome erhalten werden, um DFT-Berechnungen durchzuführen. Es sieht so aus, als gäbe es mehratomige Erweiterungen. (Ich habe keine Link-Berechtigungen).

— Greg
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3-10 Dimensionen, keine Teilchen: speziell 1 bis 3 Elektronen, 2 Kerne (1d für die Kerne, 6d für die Teilchen), ohne Born-Oppenheimer-Näherung. Und ich mache Sachen vom Typ Ionisation.

— Andrew Spott

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$M$ $3M$ $N$ $N$ $N^{3M}$ $M$ $N=10$ $10^9$

Aus dieser Überlegung folgt, dass es nicht möglich ist, das Problem mit allen Elektronen gleichzeitig zu betrachten - Sie müssen sich auf ein oder zwei Elektronen gleichzeitig beschränken. Dies führt natürlich zu Methoden wie der Hartree-Fock-Methode, die über Elektronen iteriert und gleichzeitig den Rest des Systems festhält.

Ich kenne das Gebiet nicht gut genug, aber stellen Sie sich vor, dass es eine Reihe von häufig zitierten und gut geschriebenen Übersichtsartikeln zu diesem Thema gibt.

— Wolfgang Bangerth
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10^{9}

$10^9$

Nun, fermionische Systeme haben aufgrund des Pauli-Prinzips einige (Anti-) Symmetrien, die Sie nutzen können, um die Anzahl der Freiheitsgrade signifikant zu reduzieren (anstelle des 3M-dimensionalen Hyperwürfels müssen Sie nur den entsprechenden Simplex berücksichtigen, von dem Sie Der Würfel enthält (3M)! Kopien). Sie benötigen also nur Binom-Basisfunktionen (N, 3M) - immer noch exponentiell, aber viel langsamer wachsend. Dies könnte das untere Ende des Bereichs in Reichweite einer bulligen Workstation bringen.

— Christian Clason

Für ein 3-Elektronen-System vielleicht. Aber Sie werden immer noch nichts weiter tun können. Das lässt nicht viele Moleküle

— übrig

Aber die Frage war nur fragen , für 3-10 Variablen :) (Aber Ihr Punkt gilt: für etwas mehr als eine kleine Anzahl von Elektronen, Sie müssen ungefähre Feldmodelle prüfen , wie DFT, mein Punkt war , dass zwischen „sein kann gelöst mit Standardansätzen "und" kann nur annähernd gelöst werden ", gibt es eine nicht triviale Reihe von Problemen, die" (nur) mit nicht standardmäßigen Ansätzen gelöst werden können ".)

— Christian Clason