Wie kann ich eine Basis für eine Matrix-Lie-Algebra bei einer endlichen Menge von Generatoren berechnen?

Gegeben eine beliebige Menge von (numerisch) quadratisch komplexer Matrices , ich bin an der Berechnung der reellen Matrix Liealgebra von erzeugten , rufen sie . Das heißt, würde ich eine Grundlage für gleiche wobei definiert ist als rekursiv $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{L_\mathcal{A}}$

L_{A} = s p a n_{R} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

, und

für

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

Diese Berechnung kommt in der (Quanten-) Steuerungstheorie vor.

Derzeit verwende ich eine hier gefundene Methode, die nur wiederholte Lie-Klammern durchsucht (dh solche der Form ) und wird garantiert beendet. Ich bin jedoch interessiert zu wissen, ob es andere (schnellere) Methoden gibt. Vielleicht mit P. Hall Basen? Vielleicht ein rekursiver Algorithmus? Meine derzeitige Standardsprache ist Matlab. $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$

linear-algebra matlab basis-set

— Ian Hincks
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Ich vermute, dass Ihre ursprünglichen Generatoren hermitisch sind. Ist das wahr? Wenn ja, würde ich mir vorstellen, dass der erste Schritt darin besteht, die Eigenräume der Generatoren zu vergleichen, da Kommutatoren nur dann ungleich Null sind, wenn sich die Eigenräume unterscheiden.

— Jack Poulson

@JackPoulson Ja, die A's stammen von Hamiltonianern und sind daher schief-hermitisch (nicht hermitisch, weil sie mit dem i in Schrödingers Gleichung multipliziert werden). Ich bin mir nicht sicher, warum das ein guter erster Schritt wäre. Wäre es nicht schneller, die Kommutatoren zu berechnen und zu überprüfen, ob sie nicht Null sind, als mit Eigenräumen herumzuspielen?

— Ian Hincks

Für eine einzelne Ebene von Kommutatoren wahrscheinlich ja. Es gibt jedoch eine kombinatorische Explosion, wenn Sie mehrere Kommutatorebenen in Betracht ziehen. Ich kenne keinen Algorithmus, aber normalerweise ist es eine gute Idee, so viel Struktur wie möglich auszunutzen. Ich würde sorgfältig darüber nachdenken, ob Sie andere Eigenschaften kennen, die auch Ihre Generatoren betreffen.

— Jack Poulson

Dieser Link beschreibt, wie dies mit P. Hall-Basen gemacht wird.

$A - p(A)$ $A$ $p$

— Erik P.
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@EricP Danke für den Link, sehr nützlich. Ich hatte P. Hall-Basen nur im Zusammenhang mit freien Lie-Algebren gesehen, die ich nicht genau verstanden habe, und ich bin froh zu wissen, dass meine Intuition, nur die linear abhängigen Kommutierungen loszuwerden, richtig war. Die numerische Genauigkeit ist etwas, worüber ich mir große Sorgen mache. Meinst du, ich sollte eher die Norm von p (A) mit der Norm von A vergleichen? Und dass dies stabiler wäre, als die Norm von Ap (A) mit 0 zu vergleichen?

— Ian Hincks

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$